高三数学同角关系及诱导公式知识精讲 苏教版

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1、高三数学同角关系及诱导公式知识精讲一.本周教学内容：同角关系及诱导公式二.教学目的（1）理解任意角的概念；理解终边相同的角的意义；了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化。（2）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；初步了解有向线段的概念，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切。（3）理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。（4）理解正弦、余弦、正切的诱导公式（2kπ＋α（k∈Z），－α，π±α，±α），能运用这些诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的

2、三角函数，会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。三.教学重点：同角关系及诱导公式教学难点：公式的灵活运用与正负号的确定。四.知识点归纳知识结构：知识要点：1.角和终边相同：2.几种终边在特殊位置时对应角的集合为：角的终边所在位置角的集合X轴正半轴Y轴正半轴X轴负半轴Y轴负半轴X轴Y轴坐标轴3.弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角角度制与弧度制的互化：1弧度4.弧长公式：（是圆心角的弧度数）5.扇形面积公式：6.三角函数的定义:以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P到原

3、点的距离记为，那么：；；；7.三角函数的符号：一全、二正、三切、四余8.特殊角的三角函数值：，，，，，，，，9.三角函数的定义域、值域：函数定义域值域10.诱导公式：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。诱导公式一：，，其中诱导公式二：；诱导公式三：；诱导公式四：；诱导公式五：；－sin－sinsin－sin－sinsincoscoscos－cos－coscoscossin（1）要化的角的形式为（为常整数）；（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”。11.同角关系倒数关系：，，。商数关系：，.平方关系：，，【典型例题】例1.已知角；（1）在区间内找出所

4、有与角有相同终边的角；（2）集合，那么两集合的关系是什么？分析：（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；（2）可对整数的奇、偶数情况展开讨论。解：（1）所有与角有相同终边的角可表示为：，则令，得解得从而或代回或（2）因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：。例2.若角是第二象限角，则（1）是哪个象限角？（2）是哪个象限角？分析：（）解：（1）因为角是第二象限角，所以则当是偶数时，设，则可知在第一象限；当

5、是奇数时，设，则可知在第三象限；综上所述，角是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角；（2）因为可知角的终边应在第三象限或第四象限或Y轴的负半轴上；例3.一个半径为的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，则扇形的圆心角是多少弧度？多少度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长，所以扇形的周长是依题意知：，解得转化为角度制为它的面积为：例4.已知角的终边上一点，且，求的值。解：由题设知，，所以，得，从而，解得或当时，，；当时，，；当时，，例5.若sin>0，试确定所在的象限。分析一：首先确定sin与cos的符号，再判断所在的象限。解析一：由sin

6、>0知。由（1）知在第一象限，由（2）知在第三象限，所以在第一或第三象限。分析二：先化简关系式再确定的范围。解析二：由sin>0有>0，即sin2>0，所以,当k=2n（n∈Z）时，在第一象限，当k=2n+1（n∈Z）时，在第三象限故，在第一或第三象限。分析三：因判断所在的象限，故本题可以用特殊值（各个象限各取一个）来判断。解析三：若令=代入sin>0，可以验证知，只有=满足条件，所以在第一或第三象限。例6.化简：（1）；（2）解：（1）原式（2）原式例7.化简解：①当时，原式②当时，原式点评：关键抓住题中的整数是表示的整数倍与诱导公式一中的整数有区别，所以必

7、须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。例8.化简：分析：如果用和差角的三角函数进行化简，显然很繁杂，若是观察到=，，则可以直接应用诱导公式求解。解：原式==1－2－=－1－=－。点评：在解答化简问题时，要注意次数尽量可能低；项数尽可能少，函数种类尽量减少；尽量不含分式和根式，能求出值的尽量求出值。除此之外，善于发现差异，寻找联系，能进行合理的转化，也是非常重要的。如本题充分利用了角之间的联系，即互余关系，然后借助诱导公式和平方关系轻松求解。例9.若，求：的值。分析：由已知条件首先求出的值，再将所求式化简，可由“奇变偶不变，符号看象限”一步法化简，或直接运用

8、诱导公式“负化正，大化小”化简，最后代