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《高中数学等比数列-难点剖析(1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、等比数列-难点剖析(1)【例1】设{an}为等比数列,公比为q.(1)已知a1+a3=10,a4+a6=,求an.(2)已知a1·a9=64,a3+a7=20,求a11.思路分析：用基本量来表示已知条件,建立a1,q的方程组,找到a1,q的值即可进一步求解,此法称为基本量法.解:(1)由已知得得q3=,∴q=.∴a1=8.∴an=a1·qn-1=8×()n-1=24-n.(2)由已知得由②式可知a1>0,那么①式可化简为a1q4=8.③由于q≠0,得=.解得q2=或2.代入③式,当q2=时,可得a1=32,a11=
2、q1q10=1.当q2=2时,a1=2,a11=a1q10=64.综上,a11=64或1.思维启示：用基本量表示已知条件,然后利用方程思想求出基本量是解决问题的关键,也是解决等比数列问题的常用方法.【例2】等比数列{an}同时满足下列三个条件:(1)a1+a6=11;(2)a3·a4=;(3)三个数a2,a32,a4+依次成等差数列.试求数列{an}的通项公式.思路分析：本题主要考查等差、等比数列的通项公式,用基本量法将(1)(2)两条件表示成关于a1、q的方程,解出a1、q,然后利用条件(3)进行验证.解:设数列
3、{an}的首项为a1,公比为q,由条件(1)(2),可得解得或∴an=·2n-1或an=·26-n.若an=·2n-1,∴a2+a4+=,2a32=.∴a2,a32,a4+成等差数列.若an=·26-n,a2+a4+≠2a32,舍去.∴通项公式为an=.【例3】已知数列{an}的前n项和Sn=an-1(a是不为零的实数),那么数列{an}()A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列思路分析：首先根据Sn-Sn-1求得数列的通项公式,然后用等比数
4、列的定义判断{an}是否是等比数列.解:当a=1时,这个数列的各项均为0,此时数列为等差数列,但不是等比数列.当a≠1时,由Sn=an-1,得an=Sn-Sn-1=an-1-an-1+1=(a-1)an-1(n≥2).上式对n=1也适合,故此数列通项公式为an=(a-1)·an-1,∴==a(n≥2).因此,当a≠1时,数列{an}为等比数列,但不是等差数列,故选C.答案:C思维启示：给出Sn判断是否是等比数列,首先应由Sn求出an,但要特别注意an=Sn-Sn-1只是n≥2时的通项公式,要注意验证a1.【例4】设
5、数列{an}中,a1=1,Sn+1=4an+2,记bn=an+1-2an,求证:数列{bn}是等比数列.思路分析：首先利用Sn+1-Sn=an+1将递推关系转化为an的关系式,再利用bn与an的关系结合等比数列定义进行证明.证明:∵Sn+1=4an+2,Sn+2=4an+1+2,从而an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1-4an,∴an+2-2an+1=2(an+1-2an),即bn+1=2bn,=2(常数).∴数列{bn}为等比数列.思维启示：判断一个数列{an}是否为等比数列的方法主要有两个:(1)定义法,即
6、证明an=an-1·q(n≥2,q是不为零的常数);(2)递推法,an2=an-1·an+1(n≥2,an-1·an+1≠0).【例5】(1)已知数列{an},其中cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数p;(2)设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列{cn}不是等比数列.思路分析：(1)如果数列{cn+1-pcn}为等比数列,则必有c2-pc1,c3-pc2,c4-pc3成等比数列.由此,可以求出p的值,然后证明所求p值符合题意.(2)否定式的命题,常用反
7、证法来证明,即假设数列{cn}是等比数列,然后设法推出矛盾.我们可以试着从几个特殊值c1,c2,c3来推出矛盾.(1)解:因为{cn+1-pcn}是等比数列,故有c2-pc1,c3-pc2,c4-pc3成等比数列,所以(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3),即(35-13p)2=(13-5p)(97-35p).解得p=2或p=3.当p=2时,cn+1-pcn=(2n+1+3n+1)-2(2n+3n)=3n,符合题意;当p=3时,cn+1-pcn=(2n+1+3n+1)-3(2n+3n)=-2n,也符合
8、题意;∴p=2或p=3.(2)证明:假设数列{an}是等比数列,设{an},{bn}的公比分别为p,q,p≠q,则c22=c1·c3,即(a1p+b1q)2=(a1+b1)(a1p2+b1q2),得(p-q)2=0.∴p=q,这与p≠q矛盾,故数列{cn}不是等比数列.思维启示:要证明一个命题是错误的,常常用一个特例来说明即可,但要证明一个命题的正确性,却不
