高中数学基本不等式-难点剖析

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1、基本不等式-难点剖析【例1】已知x<,求函数y=4x-2+的最大值.思路分析:由于x<,即4x-5<0,故使用基本不等式求最值时,需调整符号与积为常数,所以需对4x-2进行拆分、配凑.解:∵x<,∴5-4x>0.∴y=4x-2+=-［(5-4x)+］+3≤-2+3=-2+3=1.当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1.思维启示:基本不等式a+b≥2成立的条件之一是各项必须全为正数,这一点非常重要,希望同学们特别注意.【例2】求y=+的最小值.思路分析:本题符合基本不等式求最值的条件:一正、二定,但“等号”取不到,∵≠,于是考虑换元,

2、将换元成t,然后利用函数的单调性求解.解:令=t(t≥2),则y=t+,t∈［2,+∞］.由函数单调性定义可以证明y=t+,t∈［2,+∞］为增函数.∴当t=2时,ymin=2+=,当且仅当x=0时,等号成立.思维启示:(1)对于本题有的同学这样解:∵y=+≥2,∴ymin=2.上述解法错误的原因是没有验证“等号”是否能取到,从而导致错误.(2)又如:求y=sinx+,x∈(0,)的最小值.有的同学给出下面的错解:∵x∈(0,),∴sinx>0.故sinx+≥2=6.∴y=sinx+的最小值为9.上述解法错误的原因还是没有验证“等号”是否取到.正确的解法如下:设t=

3、sinx,∵x∈(0,］,∴t∈(0,1),则y=t+.设t1、t2∈(0,1］且t10,t1-t2<0.∴>0.∴y1>y2.∴y=t+在t∈(0,1)上是减函数.∴ymin=10,当且仅当t=1即x=时,函数取到最小值.(3)利用基本不等式求最值的关键在于“一正、二定、三相等”,①一正:各项为正;②二定,要求积的最大值,则其和必须为定值,要求和的最值,其积必须为定值;③三相等:必须验证等号是否成立,否则容易导致错误,这一点同学

4、们做题时最容易忽略.【例3】已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.思路分析:要求x+y的最值,可根据条件减元,转化为只关于x的函数或只关于y的函数,然后构造适合不等式的条件求最值.解法一:∵+=1且x>0,y>0,∴y=(x>1).∴x+y=x+=x+=x++9=x-1++10≥2+10=16.当且仅当x-1=,即x=4,y=12时,取等号.∴当x=4,y=12时,x+y的最小值为16.解法二:∵+=1,∴x+y=(x+y)·(+)=10++.∵x>0,y>0,∴+≥2=6.当且仅当=,即y=3x时,取等号.又+=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=1

5、2时,x+y取最小值16.思维启示:消元化归是常见的一种求最值的方法,通过消元转化为基本不等式求最值.【例4】当x>3时,求y=的最小值.思路分析:本题是分式函数,又分子、分母次数相同,故需先化简,然后再求最值.解:(1)∵x>3,∴x-3>0.∴y===2(x-3)++12≥2+12=24.∴当且仅当2(x-3)=时,即x=6或x=0时,y最小值=24.思维启示:对于分式函数求最值应首先通过分离常数的方法,转化为基本不等式类型,求函数的最值.【例5】一船由甲地逆水行驶至乙地,甲、乙两地相距s(km),水的流速为常量a(km/h),船在静水中的最大速度为b(km/h

6、)(b>a).已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度的平方成正比,比例系数为k,问:船在静水中的航行速度为多少时,其全程的燃料费用最少?思路分析:首先将全程燃料费表示成静水中速度的函数,然后求其最值.解:设船在静水中的速度为v(km/h),则船每小时的燃料费用为kv2,而全程所需时间为,故全程的燃料费用为y=·kv2=ks［(v-a)++2a］［v∈(a,b)).(1)当2a≤b时,y=ks［(v-a)++2a］≥4aks.等号当且仅当v-a=,即v=2a时成立.∴当v=2a时,其全程的燃料费用最少.(2)当2a>b时,令t=v-a,z=t+,则0

7、≤b-a.设01,t1-t2<0.∴z1-z2=t1+-(t2+)=(t1-t2)(1-)>0,即z1>z2.∴z=t+在(0,b-a)上递减.故当t=b-a,即v=b时,y有最小值.综上所述,要使全程的燃料费用最少,则应:当b≥2a时,v=2a;当b<2a时,v=b.思维启示:解应用题时应注意两个问题:一是建模问题,即通过建立数学模型把应用问题转化为单纯的数学问题;二是建模后的求解问题,如何用相关的知识将其具体解出.某种汽车,购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年