高二数学函数的基本性质知识精讲 人教实验版(b)

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1、高二数学函数的基本性质知识精讲人教实验版(B)一.本周教学内容：高考复习：2、函数的基本性质二.考纲要求：（1）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。（2）会运用函数图象理解和研究函数的性质。三.命题方向及典例探究1、函数单调性的判断例1.试讨论函数中的单调性（其中）。解析：设则因此，当时，即此时函数为减函数；当时，即此时函数为增函数。点评：（1）证明函数单调性时，一定要严格按照定义来证明，主要步骤是：①设元；②作差（商）；③变形；④判断符号；⑤定论。变形要彻底，一般通过因式分解、配方等手段，直到符号的判定非常明显。（2）判断函数单调性

2、的常用方法：①定义法。②两个增（减）函数的和为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；当f(x)恒为正或恒为负时，与的单调性相反。③奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。④如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数。⑤如果和单调性相同，那么是增函数；如果和单调性相反，那么是减函数。⑥如果f(x)在区间D上可导且在区间D上恒大于（小于）零，则在区间D上单调递增（减）。2、求函数的单调区间例2.求下列函数的单调区间：（1）（2）（3）（4）分析：求给定函数的单调区间通常采

3、用以下方法：①利用已知函数的单调性；②图象法；③定义法（利用单调性的定义探讨）；④导数法．解析：（1）对称轴为∴f(x)在上是增函数，在上是减函数。（2）由一次函数的单调性可得：f(x)在上是减函数，在上是增函数。（3）其图象如图所示。由此可知：在上是增函数。在上是减函数。（4）方法一：设，则由于的符号不能确定，因此需要对的取值进行讨论。当时，有即∴f(x)在上是减函数。当时，有即∴f(x)在上是增函数。方法二：或（舍去）。又当时，∴f(x)在上是增函数，时，∴f(x)在上是减函数。点评：①函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须首先确定函数的定义域，求函

4、数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行．②可以熟记一些基本函数的单调性，化一些复杂的函数为基本函数组合形式后利用已知结论判断．③函数的单调区间可以是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调．因此，只要单调区间端点使f(x)有意义，都可以使单调区间包括端点．3、函数的值域（最值）的求法例3.求下列函数的值域。分析：本题主要考查函数值域问题，考查运算能力、数学转化的思想，对于（1），利用判别式法或分离常数进行转化；对于（2），利用换元法转化为二次函数的值域问题；对于（3），利用基本不等式或利用函数的单调性求解；对

5、于（4），由函数的有界性或由几何法求解；对于（5），用求导数法求解．解析：（1）方法一：（2）方法一：设得方法二：∴定义域为∵函数在上均单调递增，（3）方法一：当时，当且仅当时，取等号；当时，当且仅当时，取等号。综上，所求函数的值域为方法二：先证此函数的单调性任取且∴当或时，f(x)递增，当或时，f(x)递减。故时，时，∴所以函数的值域为（4）方法一：利用函数的有界性将原函数化为令且平方得∴原函数的值域为方法二：数形结合法或图像法。原函数式可化为，此式可以看作点（2，0）和连线的斜率，而点的轨迹方程为如图所示，在坐标系中作出圆和点（2，0）。由图可看出，当过（2，0）的直线与圆

6、相切时，斜率分别取得最大值和最小值，当直线与圆的位置关系知识：可设直线方程为即解得∴斜率的范围是即函数的值域为（5）函数的定义域［－1，1］。当时，令得得（舍），又∴值域4、函数的奇偶性及其应用例4.判断下列函数的奇偶性，并说明理由。（1）（2）（3）（4）分析：判断函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再严格按照奇偶性的定义进行推理判断．解析：（1）由于的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数。（2）已知f(x)的定义域为其定义域关于原点对称。又即∴f(x)是偶函数。（3）∵f(x)的定义域为且其定义域关于原点对称，并且有即为奇

7、函数。（4）的定义域关于原点对称，∵当时，当时，∴f(x)为奇函数。例5.函数是奇函数，且当时是增函数，若求不等式的解集。解析：∵是奇函数，又∵在上是增函数，∴在上是增函数，若即解得或若解得∴原不等式的解集是点评：（1）解含有抽象符号“f”的不等式时，关键是符号“f”的“穿”和“脱”。在这里，首先要穿上符号“f”，然后再利用函数的单调性脱去“f”，使之成为能够求解的普通不等式。（2）单调性的定义实质上给出了自变量与函数值大小关系的转化。如果f(x)在D上为增函数，则，如果f(x)在D上为减函