高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性知识精讲 苏教版

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1、高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性知识精讲苏教版一.本周教学内容：函数的定义域与值域、单调性与奇偶性二.教学目标：理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。三.教学重点：函数性质的运用．四.教学难点：函数性质的理解。［学习过程］一、知识归纳：1.求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法：①换元法（注意新元的取值范围）②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）③整体代换（配凑法）④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定

2、义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。2.求函数的定义域求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.3

3、.求函数值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函数的值域；（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函数）（4）函数的单调性：特别关注的图象及性质（5）部分分式法、判别式法（分式函数）（6）换元法（无理函数）（7）导数法（高次函数）（8）反函数法（9）数形结合法4.求函数的单调性（1）定义法：（2）导数法：（3）利用复合函数的单调性：（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；②奇

4、函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；（5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。5.函数的奇偶性奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f（x）与f（－x）的关系。f（x）－f（－x）＝0f（x）＝f（－x）f（x）为偶函数；f（x）+f（－x）＝0f（x）＝－f（－x）f（x）为奇函数。判别方法：定义法，图象法，复合函数法应用：把函数值进行转

5、化求解。6.周期性：定义：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+T）＝f（x），则T为函数f（x）的周期。其他：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+a）＝f（x－a），则2a为函数f（x）的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。二、典型例题分析例1.若集合A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1，b2}求从集合A到集合B的映射的个数。分析：解决这类问题，关键是要掌握映射的概念：设A、B是两个集合，对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则f，若集合B中都有唯一确定的元素和它对应，这时对应法则f叫做从集合

6、A到集合B的映射。这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”。对于本例，集合A＝{a1，a2，a3}中的每一个元素的象都有b1或b2这两种情形，由乘法原理可知，A到B的映射的个数共有N＝2·2·2＝8个。例2.线段

7、BC

8、＝4，BC的中点为M，点A与B、C两点的距离之和为6，设

9、AM

10、＝y，

11、AB

12、＝x，求y＝f（x）的函数表达式及这函数的定义域。解：1°若A、B、C三点不共线，如图所示，由余弦定理可知，x2＝22+y2－4ycos∠AMB①（6－x）2＝22+y2－4ycos（180°－∠AMB）②①+②x2+（6－x）2＝2

13、y2+8∴y2＝x2－6x+14又x2－6x+14＝（x－3）2+5恒正，∴又三点A、B、C能构成三角形∴1＜x＜52°若三点A、B、C共线，由题意可知，x+4＝6－x，x＝1或4+6－x＝xx＝5综上所述：说明：第一，首先要分析三点A、B、C是否在同一条直线上，因为由题意，A、B、C不一定能构成三角形，它们也可在同一条直线上，所以要分两种情形来讨论。第二，实际问题在求解析式时要特别注意函数的定义域。例3.设f（x）为定义在R上的偶函数，当x≤－1时，y＝f（x）的图象是经过点（－2，0），斜率为1的射线，又在y＝f（x）的图

14、象中有一部分是顶点在（0，2），且过点（－1，1）的一段抛物线，试写出函数f（x）的表达式，并在图中作出其图象。解：（1）当x≤－1时，设f（x）＝x+b∵射线过点（－2，0）∴0＝－2+b即b＝2，∴f（x）＝x+2（2）当－1