高二数学函数的单调性与函数的奇偶性知识精讲 苏教版

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1、高二数学函数的单调性与函数的奇偶性知识精讲苏教版一.本周教学内容：函数的单调性与函数的奇偶性二.教学目标：（1）理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题。（2）掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题。三.教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用。函数奇偶性的定义及应用。四.教学难点：函数单调性与奇偶性的运用。五.知识归纳：（一）概念1.函数单调性的定义：对于函数的定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，⑴若当<时，都有<，则说在这个区间上是增函数；⑵若当<时，都有>，则说在这个区间上是减函数.2.

2、函数奇偶性的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。3.奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；4.为偶函数.5.若奇函数的定义域包含，则.（二）主要方法：1.讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2.判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3

3、）利用函数的导数.3.注意函数单调性的应用；4.判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；5.牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；6.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，。7.设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇.【典型例题】例1.判断下列各函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）.解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称∴为非奇非偶函数。（2）由得定义域为∴∵∴为偶函数（3）当时，，则，当时，，则，综上所述，对任意的，都有，∴为

4、奇函数.例2.（1）求函数的单调区间；（2）已知若试确定的单调区间和单调性.解：（1）单调增区间为：单调减区间为，（2），，令，得或，令，或∴单调增区间为；单调减区间为例3.已知函数对一切，都有（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示。解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称。在中，令，得，令，得∴，∴，即∴是奇函数.（2）由，及是奇函数，得。例4.（1）已知是上的奇函数，且当时，，则的解析式为。（2）（《高考计划》考点3“智能训练第4题”）已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且，则（）....例5.设，是上的偶函数。（1）求的值；（2）证明在上为增函数。解：

5、（1）依题意，对一切，有即∴对一切成立，则∴∵，∴。（2）设，则，由得，∴即，∴在上为增函数。例6.已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时。（1）求证：是偶函数；（2）在上是增函数；（3）解不等式。解：（1）令，得∴，令，得∴，∴∴是偶函数。（2）设则∵，∴，∴即，∴∴在上是增函数。（3），∴∵是偶函数，∴不等式可化为又∵函数在上是增函数∴解得：，即不等式的解集为。例7.函数在上是增函数，求的取值范围。分析：由函数在上是增函数可以得到两个信息：①对任意的总有；②当时，恒成立。解：∵函数在上是增函数∴对任意的有即得即∵，∴，∵，∴要使恒成立

6、，只要；又∵函数在上是增函数，∴，即，综上的取值范围为.另解：（用导数求解）令，函数在上是增函数∴在上是增函数，，∴，且在上恒成立，得。例8.设为实数，函数，。（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值。解：（1）当时，，此时为偶函数；当时，，∴此时函数既不是奇函数也不是偶函数.（2）①当时，函数，若，则函数在上单调递减∴函数在上的最小值为；若，函数在上的最小值为，且.②当时，函数，若，则函数在上的最小值为，且；若，则函数在上单调递增∴函数在上的最小值为综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是，当，函数的最小值是。【模拟试题】1.下面四个结论：①偶函数的图

7、象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是（　　）A.1B.2C.3D.42.函数F(x)=(1+2/(2x-1))f(x)(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)（）A.是偶函数B.是奇函数C.既是奇函数，又是偶函数D.非奇非偶函数3.已知函数f(x)=x2+lg(x+)，若f(a)=M，则f(-a)等于（）A.M-2a2B.2a2-MC.2M-a2D.a2-2M4.若对正常数m和任意实数x，等式成立，则下列说法正确的是（）A.函数是周

8、期函数，最小正周期为2mB.函数是奇函数，但不是周期