高二数学常用逻辑用语知识精讲 苏教版

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1、高二数学常用逻辑用语知识精讲一.本周教学内容：常用逻辑用语二.重点、难点：教学重点：1、掌握命题之间的关系，以及充要条件的证明。2、理解逻辑联结词及含有一个量词的命题的否定。教学难点：充要条件及反证法的证明三.本章知识结构：四.基本内容梳理：1、可以判断真假的语句叫做命题。命题有真有假，其中正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假，也就是判断其是否成立，不能判断真假的语句，就不能叫命题。2、“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。如果命题中不含逻辑联结词，那么我们把这样的

2、命题叫做简单命题。由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。3、我们常用小写的拉丁字母p，q，r，s，…来表示命题。“或”的符号是“∨”，“且”的符号是“∧”，“非”的符号是“┓”。三种复合命题形式分别是：p或q，也可写作p∨q；p且q，也可写作p∧q；p非q，也可写作p┓q；4、表示命题的真假的表叫真值表。三种复合命题的真值表如下：5、四种命题的形式原命题：若p则q逆命题：若q则p否命题：若┓p则┓q逆否命题：若┓q则┓p6、四种命题之间的相互关系：原命题为真，它的逆命题不一定为真。原命题为真，它的否命题不一定为

3、真。原命题为真，它的逆否命题一定为真。7、反证法证明命题的一般步骤如下：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。8、如果已知pq，那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。如果既有pq，又有qp，就记作pq，我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件。9、全称量词与存在量词“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用“x”表示对“任意x”存在量词。“有一个”、“有些”、“存在一

4、个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用“x”表示“存在x”。全称命题P："ÎM，p（x）否定为ØP：Î$M，ØP（x）存在性命题P：Î$M，p（x）否定为ØP："ÎM，ØP（x）例1.命题p：正方形ABCD是圆内接四边形。命题q：正方形ABCD是平行四边形。分别写出下列各种形式的复合命题：（1）p或q；（2）p且q；（3）非p；（4）非q解：（1）正方形ABCD是圆内接四边形或平行四边形。（2）正方形ABCD是圆内接四边形且平行四边形。（3）正方形ABCD不是圆内接四边形。（4）正方形ABCD不是平行四边形。

5、例2.如果命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，判断复合命题“非p”和“非q”的真假。解：由命题“p且q”是假命题，得“命题p”和“命题q”至少有一个是假命题。由命题“p或q”为假命题，得“命题p”和“命题q”都是假命题。所以命题“非p”是真命题，命题“非q”也是真命题。例3.已知原命题为“若a＝c，b＝d，则a＋b＝c＋d”，写出它的逆命题，否命题和逆否命题，并判断其真假。解：原命题“若a＝c，b＝d，则a＋b＝c＋d”是真命题。逆命题“若a＋b＝c＋d，则a＝c，b＝d”是假命题。否命题“若a≠c或b≠d，则a

6、＋c≠b＋d”是假命题。逆否命题“若a＋b≠c＋d，则a≠c或b≠d”是真命题。例4.写出下列命题的否定（1）对任意的正数x，>x－1；（2）不存在实数x，x2＋1<2x；（3）已知集合AÍB，如果对于任意的元素x∈A，那么x∈B；（4）已知集合AÍB，存在至少一个元素x∈B，使得x∈A；解：（1）存在正数x，≤x－1；（2）存在实数x，x2＋1<2x；（3）已知集合AÍB，存在元素x∈A，那么xB；（4）已知集合AÍB，任意一个元素x∈B，使得xA；例5.判断下列各组命题是否为等价命题，说明理由：（1）“若A则B”与

7、“若┓A则┓B”；（2）“若B则A”与“若┓A则┓B”；（3）“若┓B则┓A”与“若┓A则┓B”；（4）“若┓A则┓B”与“若B则A”。解：（1）是互否命题，它们不是等价命题。（2）是互为逆否命题，它们是等价命题。（3）是互逆命题，它们不是等价命题。（4）是互为逆否命题，它们是等价命题。例6.用反证法证明：不是有理数。证明：假设是有理数，设＝（m，n为互素的整数），则m2＝2n2，∴m2为偶数，从而m也为偶数，设m＝2t（t∈Z），则2n2＝（2t）2＝4t2n2＝2t2，∴n2为偶数，从而n也为偶数。因此，m与n有公

8、因数2，这与假设m与n互素矛盾。所以，假设不成立，所以不是有理数。例7.指出下列各组命题中，p是q的什么条件？在（1）充分不必要条件，（2）必要不充分条件，（3）充要条件，（4）既不充分也不必要条件中，选出一种。（Ⅰ）p：x>0且y>0；q：x＋y>0（Ⅱ）p：x2－5x＋6＝0；q：x－2＝0（Ⅲ）p：xyz＝0；q：x2＋y2