高考数学专题讲座 第9讲 不等式的性质与证明

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1、高考数学专题讲座第9讲不等式的性质与证明一、考点要求1．理解不等式的性质及证明．2．掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，并会加以灵活应用．若R，则≥．若，，则≥．如果，都是正数，则≤≤≤（课本P11习题6.2第3题）．以上各式中当且仅当时等号成立．3．掌握证明不等式的常用方法：比较法、综合法、分析法，此外还有反证法、放缩法、换元法、判别式法、构造法等，这些方法要根据不等式的结构特点，灵活运用．4．不等式常常与函数、数列、三角、解析几何等知识结合起来综合考查，以体现学科内部各知识块间的综合运用．二、基础过关1．1．(04湖南)设，，且，则的

2、取值范围是（）．A．，B．，C．，D．，2．设，且，，都是正数），则的取值范围是（）．A．，B．，C．，D．，3．设且，则四个数，，，中最小的数是（）．A．B．C．D．4．设且，下列不等式正确的是（）．A．B．C．D．5．（2002北京文）数列由下列条件确定：，，N*．***（1）证明：对于≥2，总有≥；（2）证明：对于≥2，总有≥．6．已知数列的通项为，前项的和为，且是与2的等差中项，数列中，b1=1，点，在直线上．（1）求数列、的通项公式，；（2）设的前n项和为,试比较与2的大小．（3）设=，若对一切正整数，Z）恒成立，求的最小值．三、典型例题例

3、1若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求证≤2，≤1．例2对于在区间，上有意义的两个函数与，如果对任意的，，均有≤1，则称与在区间，上是接近的，否则是非接近的．设与，是区间，上的两个函数．（1）求的取值范围；（2）讨论与在区间，上是否是接近的．例3(2002江苏)己知，函数．（1）当时，若对任意R都有≤1，证明：≤；（2）当时，证明：对任意，≤1的充要条件是≤≤；（3）当≤1时，讨论：对任意，≤1的充要条件．例4已知n∈N，n＞1．求证．四、热身演练1．设，，，R，且，，则下列结论中正确的是（）．A．B．C．D．2．设，，且，则的最小值为（）．A．B．

4、C．或D．不存在3．设实数，满足，当≥0时，的取值范围是（）．A．，B．，C．，D．，4．点在直线上，，与圆分别相切于，两点，为圆的圆心，则四边形的面积的最小值为（）．A．24B．16C．8D．45．已知直线：与曲线C：有公共点，则的取值范围是（）．A．，B．，，C．，D．，，6．已知函数≥，当时，的最小值是（）．A．B．C．D．7．命题“”是命题“”成立的条件．8．已知，，R）给出下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中一定成立的不等式是（注：把成立的不等式的序号都填上）．9．设集合，≤≤，若，，且对中的其它元素，，总有≥，则=____．10．设等差数

5、列{a}的首项，，则它的前项的和最大？11．(2004年全国卷IV)已知数列的前项和满足．（1）写出数列的前三项；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对任意的整数，有．12．（2002理）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同．为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？13．已知函数．（1）设，≤1，求证：；（2）设是正实数，是正的自然数，求证：≥．第9讲不等式的性质与证明一、考点要求1．理解不等式的性质及证明．2．掌握两个正数的算术平

6、均数不小于它们的几何平均数，并会加以灵活应用．若R，则≥．若，，则≥．如果，都是正数，则≤≤≤（课本P11习题6.2第3题）．以上各式中当且仅当时等号成立．3．掌握证明不等式的常用方法：比较法、综合法、分析法，此外还有反证法、放缩法、换元法、判别式法、构造法等，这些方法要根据不等式的结构特点，灵活运用．4．不等式常常与函数、数列、三角、解析几何等知识结合起来综合考查，以体现学科内部各知识块间的综合运用．二、基础过关1．1．(04湖南)设，，且，则的取值范围是（B）．A．，B．，C．，D．，解：≤，≥0，解得≥6，≤舍，故选B．2．设，且，，都是正数）

7、，则的取值范围是（D）．A．，B．，C．，D．，解法1特值法，取得，故选D．解法2直接法，≥，故选D．3．设且，则四个数，，，中最小的数是（）．A．B．C．D．解：选B．4．设且，下列不等式正确的是（）．A．B．C．D．解：选C．5．（2002北京文）数列由下列条件确定：，，N*．***（1）证明：对于≥2，总有≥；（2）证明：对于≥2，总有≥．证明：（1）及知，从而≥N，∴当≥2时，≥成立．（2）当≥2时，≥，，∴≤0，当≥2时，≥成立．6．已知数列的通项为，前项的和为，且是与2的等差中项，数列中，b1=1，点，在直线上．（1）求数列、的通项公式，

8、；（2）设的前n项和为,试比较与2的大小．（3）设=，若对一切正整数，Z）恒成立，求的最小值．分析：本题主要