高考专题讲座 数学直线与圆锥曲线

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1、高考专题讲座稿件数学直线与圆锥曲线l高考风向标直线的倾斜角和斜率，直线的方程，两直线的位置关系，简单的线性规划．圆的方程，椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和简单的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系．将解析几何知识和向量知识综合于一题，这是近年高考数学命题的一个新的亮点．l典型题选讲例１　若的取值范围是（）.A．　[2，6]B．　[2，5]C．[3，6]D．[3，5]讲解　由得又所以当时，原不等式组成立，从而故应选A．点评　请读者不妨画个图形，可以给出图形解法吗？例２　椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1

2、作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则＝（　　）A．B．C．D．4讲解　由椭圆的方程可以读出，则.令，则点P的横坐标，代入椭圆方程，解得，点P的纵坐标.而，于是，在Rt△PF1F2中，应用勾股定理，得.应选C.点评　请读者自己画出图形.当然，不必画图，图在心中也能解题.例３　设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（　　）A．[－，]B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]讲解　易知抛物线的准线与x轴的交点为Q(-2,0)，于

3、是，可设过点Q(-2,0)的直线的方程为，联立其判别式为，可解得，应选C.点评　对斜率取特殊值也可巧解；如果画图形，可以看出答案吗？.例４　设双曲线与直线相交于两个不同的点A、B.（１）双曲线C的离心率的取值范围；（２）直线与轴的交点为，且，求的值.讲解：（１）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得（1－a2）x2+2a2x－2a2=0.①双曲线的离心率（２）设由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0，点评　本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等

4、解析几何的基本思想和综合解题能力．例５　某人承揽一项业务：需做文字标牌2个，绘画标牌3个。现有两种规格的原料，甲种规格每张3,可做文字标牌1个、绘画标牌2个；乙种规格每张2,可做文字标牌2个、绘画标牌1个．求这两种规格的原料用多少张才能使总的用料面积最小？讲解设用甲种规格原料x张，乙种规格原料y张，则可做文字标牌x+2y个，绘画标牌2x+y个．由题意可得，　　　　　　　　OB所用原材料的总面积，作出可行域如图示阴影部分内的整点，作直线，作一组与直线平行的直线．当直线通过2x+y=3与直线x+2y=2的

5、交点时，t取得最小值因为不是整点，所以它不是最优解．当时，可知当时，代入约束条件，可得，即经过可行域内的整点，点B（1，1）满足3x+2y=5，使t最小，所以最优解为B（1，1）．故用甲种规格的原料1张，乙种规格的原料1张，能使总的用料面积最小，其最小值是5．点评　求整点最优解时，可先转化为普通线性规划求解．若所求得的最优解不是整点时，再借助不定方程的知识调整最优值，最后求出整点最优解．因为在考试时，常需要作出一些图形，而要解决作图的准确性问题，就必须抓住图形中的一些关键点和图形的变化趋势．只有抓住了

6、局部的关键点，也就带动了整体的图形状态．例６　已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．（1）求椭圆C的离心率；（2）求椭圆C的方程．讲解　（1）设．由得　　　　．（2）　1)当k存在时，设l的方程为………………①椭圆方程为．由　得　　　．于是椭圆方程可化为………………②把①代入②，得，整理得，则x1、x2是上述方程的两根，且，．AB边上的高．２）当k不存在时，把直线代入

7、椭圆方程，得由①②知S的最大值为．由题意得=12所以，．所以面积最大时椭圆方程为：点评　也可这样求解：．例７　经过抛物线y的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点．（１）线段AB的斜率为k，试求中点M的轨迹方程；（２）直线的斜率k＞2，且点M到直线3x+4y+m=0的距离为，试确定m的取值范围．讲解　(1)　设A(直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),代入得　　　　kx-(2k+4)x+k=0．设M(x,y)，则∴点M的坐标为(．于是消去k，可得M的轨迹方程为．(2)由于d=所以　　即　　　0＜

8、＜,　　得0＜,即或故实数的取值范围为．点评　圆锥曲线的焦点弦问题是历年高考的热门话题，解答过程当中有一些需要我们掌握的技巧和方法，应当引起读者深刻的反思．例８　已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为．（１）求动点的轨迹方程；（２）若已知，、在动点的轨迹上且，求实数的取值范围．讲解　(１)由题意．设（），由余弦定理,得．又·，当且仅当时，·取最大值，此时取最小值，令，解得，，∴，故所求的轨迹方程为.（２）设，，则由，可得，故.∵、在动