高考数学专题讲座直线与圆锥曲线

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1、高考复习高考数学专题讲座直线与圆锥曲线主讲教师：孙福明（省常州高级中学一级教师）【试题预测】直线与二次曲线是高中数学的重要内容，各种解题方法在这里表现的比较完整。它把代数、三角、几何有机地联系在一起，不仅综合与渗透力强，而且方法多变，能较好地考查学生的创新思维和创新能力。从近几年的统计来看，直线与二次曲线约占总分的20%，是高考的热点内容。纵观近几年高考试题中对直线和二次曲线的考查，主要体现在以下几个特点：1、考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大都属中、低档题，以

2、选择、填空题的形式出现，每年必考。2、直线与二次曲线的普通方程、参数方程的互化常以选择题形式出现，属低档题，对称题常以选择题、填空题出现。3、考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题，属中档题。4、有关直线与圆锥曲线的综合题，多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生平面几何知识与代数知识的综合能力，分析问题和学生解决问题的能力，对运算能力有降低要求的趋势。重视了圆锥曲线定义，重视平面几何知识在解题中的作用。【例题】例1、如图，直线l与

3、半径为1的圆F相切于C。动点P到直线l的距离为d，已知，且≤d≤。（1）建立适当的直角坐标系，求点P运动形成的轨迹方程；（2）若点G满足，点M满足且线段MG的垂直平分线经过P，求△PGF的面积。解析：（1）点P的轨迹是以点F为焦点，l为相应准线的椭圆弧。由①又∵②解①②得a=，c=1以CF所在直线x轴，以CF与圆F的另一个交点O为坐标原点，建立直角坐标系，设P（x，y）∵≤d≤，即≤2-x≤∴≤x≤故所求的点P的轨迹方程为（≤x≤）www.bnuschool.com高考复习（2）∵∴

4、

5、=2，G为

6、椭圆的左焦点又∵线段MG的中垂线经过点P，且∴又点P在椭圆上∴∴又∵∴△PGF为Rt△，∠PFG=900点拨：第一问应用了椭圆的第二定义确定曲线类型（定型），再建立坐标系（定位），简化了运算量。第二问，灵活应用了椭圆的第一定义，使总是顺利解决。例2、已知点P在双曲线上，且点P到这条双曲线的右准线的距离恰是点P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，求点P的横坐标。解析：设双曲线的左右焦点为F1、F2，点P（x，y），P到右准线x=的距离为d，由第二定义知

7、PF2

8、=ed则

9、PF2

10、=同理，

11、PF1

12、

13、=由题意得又由双曲线的范围知，x≤-4或x≥4∴同号∴∴点拨：涉及圆锥曲线上的点到焦点的距离问题，用圆锥曲线的定义处理比较简单，应加强这方面的训练，同时要注意曲线的范围。实际上本题可把d，

14、PF1

15、，

16、PF2

17、中任一线段长作为研究对象，来判定点P是否存在。例3、已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹是什么曲线？解析：记P（x，y），由M（-1，0），N（1，0）得：www.bnuschool.com高考复习∴于是是公差小于零的等差数列等价于即所以，点P

18、的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆点拨：结合向量知识与代数知识，求轨迹是高考热点。例4、以P（2，2）为圆心的圆与椭圆x2+2y2=m，交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程。解析：如图所示，设A（x1，y1），B（x2，y2）则x12+2y12=m，x22+2y22=m两式作差：（*）又设AB中点M（x，y）∵PM⊥AB∴∴所求轨迹方程为xy+2x-4y=0，轨迹在椭圆的内部点拨：从整体分析入手，建立起弦AB的斜率与中点M（x，y）之间的关系式（*），是解决本题的关键，同时应注意轨迹方程中x、

19、y的范围。关于交点问题，通常用考虑两次的观点，如本题，把A、B放在椭圆中得到一个结论；把A、B放在圆中又得到一个结论。由此得到与AB有关的等量关系。例5、已知椭圆的右准线l与x轴相交于E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC∥x轴，求证：直线AC经过线段EF的中点。证明：法一：如图所示，由题设得半焦距c=1，右焦点为F（1，0），右准线方程为x=2，点E的坐标为（2，0），EF的中点为N（，0）若AB垂直于x轴www.bnuschool.com高考复习则A（1，y1

20、），B（1，-y1），C（2，-y1）∴AC的中点为N（，0），即AC过EF的中点N若AB不垂直于x轴，由AB过点F，且BC∥x轴知点B不在x轴上故直线AB的方程为y=k（x-1），k≠0A（x1，y1），B（x2，y2）则C（2，y2）且x1、x2满足二次方程即（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0由韦达定理得又x12=2-2y12＜2，得x1≠0故直线AN与CN的斜率分别为，∴∵分子（x1-1）-（x2-1）（2x1-3）=3（x1+x2）-2x1x2-4=[12k2