高二数学复数及其运算知识精讲 人教实验版

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1、高二数学复数及其运算知识精讲一.本周教学内容：复数及其运算二.教学目的：1、掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念．理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系．2、掌握复数的加、减、乘、除的运算法则，理解加法与减法的几何意义．3、掌握复数的模及共轭复数的运算性质．三.教学重点、难点：重点：复数的概念及运算，复数的几何意义及性质难点：复数的几何意义的理解及应用．四.知识分析：（一）复数的概念：1、

2、复数的概念：（1）正确理解复数的实部与虚部对于复数，实部是，虚部是．复数的实部和虚部都是实数．对于复数的定义，特别要抓住这一标准形式以及是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助．（2）正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类如下：注意分清复数分类中的界限：设复数　　①当时为实数②当时为虚数　③当时为纯虚数④当时为（3）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意：　　①化为复数的标准形式，②实部、虚部中的字母为实数（

3、4）理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系如图所示，建立复平面以后，复数与复平面内的点形成一一对应关系，而点又与复平面的向量构成一一对应关系．因此，复数集与复平面的以为起点，以为终点的向量集{}形成一一对应关系．因此，我们常把复数说成点Z或说成向量．点、向量是复数的另外两种表示形式，它们都是复数的几何表示．相等的向量对应的是同一个复数，复平面内与向量相等的向量有无穷多个，所以复数集不能与复平面上所有的向量形成一一对应关系．复数集只能与复平面上以原点为起点的向量集合构

4、成一一对应关系．　　这种对应关系的建立，为我们用解析几何方法解决复数问题，或用复数方法解决几何问题创造了条件．（5）关于共轭复数的概念设，则，即z与的实部相等，虚部互为相反数，它们对应的点关于实轴对称．（6）复数能否比较大小　　教材中指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：　　①根据两个复数相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．　　②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数

5、间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系的四条性质”：（二）复数的运算及几何意义：（1）在复数的加法与减法中，重点是加法．教材首先规定了复数的加法法则．对于这个规定，应通过下面几个方面，逐步理解这个规定的合理性：①当b=0，d=0时，与实数加法法则一致；②验证实数加法运算律在复数集中仍然成立；③符合向量加法的平行四边形法则．（2）复数加法的向量运算中，设，画出向量，后，根据向量加法的平行四边形法则，画出和向量（即合向量），画出向量后，它对应的复数是，为点Z的坐标．（3）复数加法可按向量加

6、法的平行四边形法则来进行后，可以看出向量加法还可按三角形法则来进行：求与的和，可以看作是求与的和．这时先画出第一个向量，再以的终点为起点画出第二个向量，那么，由第一个向量起点O指向第二个向量终点Z的向量，就是这两个向量的和向量．（4）复数减法：复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（+i）－（+i）（5）复数减法几何意义：设z=+i（，∈R），z1=+i（，∈R），对应向量分别为，由于复数减法是加法的逆运算，设z=（－）+（－）i，所以z－z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以为一条对角线，

7、1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边2所表示的向量OZ2就与复数z－z1的差（－）+（－）i对应，如图．在这个平行四边形中与z－z1差对应的向量是．向量是以Z1为起点，Z为终点的向量．概括一下复数减法几何意义是：两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应．（5）复数的乘法法则规定按照如下法则进行．设是任意两个复数，那么它们的积：也就是说．复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式．　　复数的乘法不仅满

8、足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何，，及，有：，，；　　设，则＝　　　，＝　　　，＝　　　，＝　　　．　　设，则　　　　，　　　．（6）除法：此公式不需记忆，分析一下商的结构，从形式上可以得出两个复数相除的较为简捷的求商方法，就是先把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．例1、判断各式的对错．（1）若z∈C，则z2≥0（2）若a>b，则a＋i