高考数学二轮复习 最值问题

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1、高考数学二轮复习最值问题一、知识归纳总结与函数有关的最值问题与三角函数有关的最值问题最值与解析几何有关的最值问题与立体几何有关的最值问题二、例题精选（一）、选择题（1）函数y=x2−2x+5，x∈[−1，2]的值域为(B)A．[5，8]B．[4，8]C．［４，５］　　　　　Ｄ．［５，６］（２）当x∈(0，2)时，函数f(x)=ax2+4(a+1)x−3在x=2时取得最大值，则a的取值范围是(A)A．a≥-B．0≤a≤C．-≤a≤0　　　　Ｄ．a≤-(3)下列函数中，值域是(0,+∞)的函数是（B）A.y＝x2－x＋1B.

2、y＝C.y＝3＋1D.y＝

3、log2x2

4、(4)已知函数在x=−3时取得极值，则a等于（D）A．2B．3C．4D．5(5)函数在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为（C）A．B．2C．D．4（6）若不等式对一切成立，则的最小值为（）A、0B、-2C、D、-3分析：该题是一个二次函数的不等式，二次项的系数为1，开口向上。根据题意，作出可能图像。该二次函数的图像可能有以下三种情况：图1图2图3①图1要满足②图2要满足③图3要满足综上可知，的最小值为，答案选（C）（7）函数y=2x3+4x2−40x(x∈[−3，3

5、])的最小值是　　　　　　　　　　　　（　Ｃ　　）A．0B．-30C．-48D．-40（8）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为()　Ａ．8　　　　Ｂ．6　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．2解：答案选（C）（９）若函数在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a等于.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　Ｂ　　）A．B．　　　　　　　　　C．D．（１０）函数的值域为　　　　　　　　　　　　　（　　D　）　　A．[０，]B．（]　　　C．［）　　　　Ｄ．（］（二）、填空题（1）已知f(x)=

6、3x-b(2≤x≤4)的图象过点(2，1)，则的值域为______________略解：b=2，f-1(x)=log3x+2(1≤x≤9)，F(x)=[log3x]2+2log3x+2(1≤x≤3)，所以F(x)的值域是[2，5]。（2）的值域为，函数的值域为。（3）设x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是。（4）设集合A＝[1,b](b>1)，f(x)＝(x－1)2＋1(x∈A),若f(x)的值域也为A，则b的值是3。（5）函数y=2x3－3x2－12x+5在[0，3]上的最大值是　

7、5　　；最小值是　-15　．（6）已知点P(x，y)在圆x2+y2=1上，则及y-2x的取值范围.（（三）、解答题1、已知函数在与时都取得极值。（1）求的值及函数的单调区间；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围。分析：（1）根据函数在极值点的导数值为0，可以求出的值；由各极值点的左右区间的的导数值的符号来判断函数的单调区间。（2）对，不等式若要恒成立，即要在区间内，找到的最大值，使最大值满足不等式即可。这也就转化为求的最大值问题。解：（1），，由，得。，则函数的单调区间如下表：+0—0+极大值极小值所以，函数的递增区间

8、为和；递减区间为。（2）当时，为极大值；而在时，，则为最大值。要使（）恒成立，只须即可，解得。反思：对于函数的最值问题，应多利用函数的图像、性质以及不等式的性质来解题。特别是对于区间上的二次函数最值问题，要确定好单调区间与对称轴之间的关系。对于高阶函数的最值问题还可根据导数的性质和意义来求解。求函数最值一般可采用配方法、判别式法、换元法、反函数法、三角函数法、不等式法，特别是有关重要不等式的的正确运用。2、如图，已知是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过的中心G，设（1）将的面积（分别记为和）

9、表示为的函数（2）求的最大值与最小值。解：（1）具体过程略。得（2）因为时，的最大值；当时，的最小值。反思：对三角函数的最值问题求解，应当熟悉三角函数的各种诱导公式，和差化积及积化和差公式，半角倍角公式、正弦、余弦定理等其他各种三角公式及其变形，并牢记一些基本三角函数的性质和运算过程中的基本方法，尽量与图形结合结合起来考虑，这样做起来会更得心应手。3、P为双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，求的最大值。解：根据题意，作出右图。显然，为双曲线的两个焦点。要使最大，即要使最大，最小，以此作出M，N具体位置如右图。则容

10、易得出最大值为：反思：对解析几何的求最值问题，应尽量多用图形去解决，善于把具体式子和几何问题联系起来，并要对各种曲线方程的形式、变式、性质、特征有较深的了解，以达到解题突破。4、如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点，求从点A到点A1的最短路线的长。分析：把正三