高中数学一元二次不等式及其解法-难点剖析(2)

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1、一元二次不等式及其解法-难点剖析(2)【例1】解不等式≥2.思路分析:解分式不等式一般根据符号原则转化为不等式组或对分母正负进行分类,化为整式不等式组或把不等式化为标准形式(不等式的右端为零,左端分子分母最高次项系数为正,且分解为最简因式),用数轴标根法直接写出结果.解法一:原不等式-2≥0≥0①或②解①得x≥2或x<-4.解②得-3≤x<1.∴原不等式的解集为{x

2、x<-4或-3≤x<1或x≥2}.解法二:原不等式等价于①或②不等式组①的解集为{x

3、x<-4或x≥2}.不等式组②的解集为{x

4、-3≤x<1}.∴原不等式的解集为{x

5、x<-4或-3≤x<1或x≥2}.解法三:原不等式-2≥0

6、≥0其对应方程的根为-4,-3,1,2.将其标在数轴上,穿线如图.由数轴标根法得原不等式组的解集为{x

7、x<-4或-3≤x<1或x≥2}.思维启示:解分式不等式,当在不知道分母符号的前提下,不能去分母,一般是通过化简得到>0(或<0)这种形式的不等式,然后利用符号原则转化为不等式组去解,或转化为f(x)·g(x)>0或f(x)·g(x)<0,利用数轴标根法去解.【例2】解不等式:(x2+2x-3)(x2-x-12)>0.思路分析:利用积的符号法则可将一元高次不等式转化为不等式组,但比较麻烦,也可利用数轴标根法求出解集.解:原不等式(x+3)2(x-1)(x-4)>0,其对应方程的根分别为-3

8、,1,4,将其标在数轴上,穿线如图,利用数轴标根法得原不等式的解集为{x

9、x>4或-30(或<0),再把各因式的根依次由小到大,由左到右标在数轴上,然后由上至下依次穿线,穿线原则是奇穿偶不穿,画出波浪线,画线在x轴上方包含的区间取正值,画线在x轴下方包含的区间取负值.【例3】解不等式:<.思路分析:首先将不等式等价变形为af(x)>ag(x)或af(x)0且a≠1)的形式,然后利用单调性转化为一元二次不等式求解.解法一:原不等式变形为<,由于y=2x是增函数,∴

10、2x2-3x+1<-x2-2x+5.解得-1

11、-1x2+2x-5.解得-1

12、-1

13、0

14、为所求.思维启示:对数不等式的求解,实质上是利用对数函数y=logax的单调性,转化为同解不等式解之,在转化过程中,要注意真数和底的取值范围.【例5】解下列不等式:(1)<2-x;(2)≥3-2x.思路分析:由于“a>b>0a2>b2”,所以在不等式两边平方时,必须要注意两边是否均大于或等于零,还要注意根号下大于或等于零.因此对(1)有2-x≥0;而在(2)中当3-2x<0时,只要3-x≥0即可.解:(1)原不等式化为即即∴≤x<1.故原不等式的解为≤x<1.(2)原不等式化为或即或即≤x≤3或0≤x≤.故原不等式的解为0≤x≤3.思维启示:解≥g(x)类型的不等式需要根据性质a>b>0a2

15、>b2.故两边平方时需要对g(x)是否大于零进行分类讨论,即转化为或去解.