高三数学一轮复习讲义 正弦定理和余弦定理教案 新人教a版

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1、正弦定理和余弦定理自主梳理1.正弦定理：____＝______＝___＝2R，其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝____sinA∶sinB∶sinC_____；(2)a＝___)2RsinA_____，b＝__2RsinB_____，c＝__2RsinC___；(3)sinA＝_______，sinB＝______，sinC＝_______等形式，以解决不同的三角形问题.2.余弦定理：a2＝__b2＋c2－2bccosA________，b2＝__　a2＋c2－2accosB　_____，c2＝____a2＋b2－2abcosC　____.余弦定理可以变形

2、为：cosA＝___________，cosB＝_________，cosC＝_________.3.S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题.解三角形时，三角形解的个数的判断在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式

3、a＝bsinAbsinAb解的个数一解两解一解一解5．判断三角形的形状特征必须从研究三角形的边角关系入手，充分利用正、余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一．①等腰三角形：a＝b或A＝B.②直角三角形：b2＋c2＝a2或A＝90°.③钝角三角形：a2＞b2＋c2或A＞90°.④锐角三角形：若a为最大边，且满足a2＜b2＋c2或A为最大角，且A＜90°.6．由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.基础自测1.在△ABC中，若A＝60°，a＝，则＝________.2.(

4、2010·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.3.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝________.4.△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝，a＝2b，则b的值为________.5.已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为(　　)A.2B.8C.D.1.2　2.1　3.　4.　5.C6．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a、b、c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，则b＝.【解析】∵S△ABC＝acsinB＝acsin30°＝，

5、∴ac＝6.又a、b、c成等差数列，故2b＝a＋c.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accos30°，∴b2＝4b2－12－6，得b2＝4＋2，∴b＝1＋.7．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形【解析】由a＝2bcosC得sinA＝2sinBcosC∵A＋B＋C＝π∴sinA＝sin(B＋C)∴sin(B＋C)＝2sinBcosC即sin(B－C)＝0∵0

6、命题q：△ABC是等边三角形，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵＝＝，由正弦定理知：＝＝.∴sinB＝sinA＝sinC∴A＝B＝C⇒a＝b＝c，∴p⇒q又若a＝b＝c，则A＝B＝C＝60°⇒sinA＝sinB＝sinC.∴＝＝，∴q⇒p.题型一　利用正弦定理求解三角形及有关三角形中的三角函数的范围(最值)例1　⑴在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和边c.(2)在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求边b和c.解　(1)由正弦定理得＝，＝，∴sinA＝.∵a>b，∴A＝60°或A＝120°.当A＝6

7、0°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝.(2)∵B＝60°，C＝75°，∴A＝45°.由正弦定理＝＝，得b＝＝4，c＝＝4＋4.∴b＝4，c＝4＋4.(2)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bsinA.①求角B的大小；②求cosA＋sinC的取值范围．解析①由a＝2bsinA，根据正弦定理得sinA＝2sinB