高三数学大一轮复习讲义 4.6正弦定理和余弦定理 理 新人教a版

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1、§4.6　正弦定理和余弦定理2014高考会这样考　1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．复习备考要这样做　1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sinA＝，sinB＝，s

2、inC＝等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形：cosA＝，cosB＝，cosC＝.3．S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.4．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAb解的个数一解两解一解一解[难点正本　疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较

3、大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．1．在△ABC中，若A＝60°，a＝，则＝________.答案　2解析　由正弦定理及等比性质知＝＝＝＝2R，而由A＝60°，a＝，得＝2R＝＝＝2.2．(2012·福建)已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．答案　－解析　设三角形的三边长从小到大依次为a，b，c，由题意得b＝a，c＝2a.在△ABC中，由余弦定理得cosC＝＝＝－.3．(2012·重庆

4、)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝________.答案　解析　在△ABC中，∵cosA＝>0，∴sinA＝.∵cosB＝>0，∴sinB＝.∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.由正弦定理知＝，∴c＝＝＝.4．(2011·课标全国)在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．答案　2解析　由正弦定理知＝＝，∴AB＝2sinC，BC＝2sinA.又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sinC＋4sin(120°－C)＝2(s

5、inC＋2sin120°cosC－2cos120°sinC)＝2(sinC＋cosC＋sinC)＝2(2sinC＋cosC)＝2sin(C＋α)，其中tanα＝，α是第一象限角，由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值2.5．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为(　　)A．2B．8C.D.答案　C解析　∵＝＝＝2R＝8，∴sinC＝，∴S△ABC＝absinC＝abc＝×16＝.题型一　利用正弦定理解三角形例1　在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和边c.思维启迪：已知两边及一边对角或已知

6、两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断．解　由正弦定理得＝，＝，∴sinA＝.∵a>b，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝.探究提高　(1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则角A的大小为_______

7、____．答案　解析　∵A＋C＝2B且A＋B＋C＝π，∴B＝.由正弦定理知：sinA＝＝，又a