高三数学大一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性教案 理 新人教a版

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1、§2.3　函数的奇偶性与周期性2014高考会这样考　1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数或参数范围；3.函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．复习备考要这样做　1.结合函数的图象理解函数的奇偶性、周期性；2.注意函数奇偶性和周期性的小综合问题；3.利用函数的性质解决有关问题．1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶

2、函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数

3、就叫做f(x)的最小正周期．[难点正本　疑点清源]1．函数奇偶性的判断(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．2．函数奇偶性的性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(3)奇函数在关于原点对

4、称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．1．(课本改编题)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．答案　解析　由f(x)是偶函数知，f(x)＝f(－x)，即ax2＋bx＝a(－x)2－bx，∴2bx＝0，∴b＝0.又f(x)的定义域应关于原点对称，即(a－1)＋2a＝0，∴a＝，故a＋b＝.2．(2011·广东)设函数f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.答案　－9解析　令g(x)＝f(x)

5、－1＝x3cosx，∵g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cosx＝－g(x)，∴g(x)为定义在R上的奇函数．又∵f(a)＝11，∴g(a)＝f(a)－1＝10，g(－a)＝－g(a)＝－10.又g(－a)＝f(－a)－1，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－9.3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．答案　(－1,0)∪(1，＋∞)解析　画草图，由f(x)为奇函数知：f(x)>0的x的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)．　　　　　　　　　　　　

6、　　　　　　4．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则(　　)A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)＝f(x＋2)D．f(x＋3)是奇函数答案　D解析　因为f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＝－f(2＋x)，f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(－2＋x)，于是f(x＋2)＝f(x－2)，即f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)是周期T＝4的周期函数．所以f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，f(－x＋3)＝－f(x＋3)，即f(x＋

7、3)是奇函数．5．(2011·大纲全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f等于(　　)A．－B．－C.D.答案　A解析　∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f＝f＝f＝－f＝－2××＝－.题型一　判断函数的奇偶性例1　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝(x＋1)；(3)f(x)＝.思维启迪：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．解　(1)由，得x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}

8、．又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．(2)由，得－1