接触问题的非线性有限元分析.doc

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1、第五章接触问题的非线性有限元分析5.1引言在工程结构中，经常会遇到大量的接触问题。火车车轮与钢轨之间，齿轮的啮合是典型的接触问题。在水利和土木工程中，建筑物基础与地基，混凝土坝分缝两侧，地下洞室衬砌与围岩之间，岩体结构面两侧都存在接触问题。对于具有接触面的结构，在承受荷载的过程中，接触面的状态通常是变化的，这将影响接触体的应力场。而应力场的改变反过来又影响接触状态，这是一个非线性的过程。由于接触问题对工程实践的重要性，本章将作为专门问题进行研究。最早对接触问题进行系统研究的是H.Hertz，他在1882年发表了《弹性接触问题》一书中，提出经典的Hertz弹性接触理论。后来Bouss

2、inesg等其他学者又进一步发展了这个理论。但他们都是采用一些简单的数学公式来研究接触问题，因而只能解决形状简单（如半无限大体）、接触状态不复杂的接触问题。二十世纪六十年代以后，随着计算机和计算技术的发展，使应用数值方法解决复杂接触问题成为可能。目前，分析接触问题的数值方法大致可分为三类：有限元法、边界元法和数学规划法。数学规划法是一种优化方法，求解接触问题时，根据接触准则或变分不等式建立数学模型，然后采用二次规划或罚函数方法给出解答。边界元方法也被用来求解接触问题，1980年和1981年，Anderson先后发表两篇文章，用于求解无摩擦弹性接触和有摩擦弹性接触问题。近年来虽有所发

3、展，但仍主要用于解决弹性接触问题。就目前的发展水平来看，数学规划法和边界元法只适合于解决比较简单的弹性接触问题。对于相对复杂的接触非线性问题，如大变形、弹塑性接触问题，还是有限元方法比较成熟、比较有效。早在1970年，Wilson和Parsons提出一种位移有限元方法求解接触问题。Chan和Tuba，Ohte等进一步发展了这类方法。它的基本思想是假定接触状态，求出接触力，检验接触条件，若与假定的接触状态不符，则重新假定接触状态，直至迭代计算得到的接触状态与假定状态一致为止。具体做法是：对于弹性接触的两个物体，通过有限元离散，建立支配方程(5.1)式中，为初始的整体劲度矩阵，它与接触

4、状态有关，通常根据经验和实际情况假定。是结点位移列阵，为结点荷载列阵。求解式（5.1），得到结点位移，再计算接触点的接触力，将和代入与假定接触状态相应的接触条件，如果不满足接触条件，就要修改接触状态。根据修改后新的接触状态，建立新的劲度矩阵和支配方程(5.2)再由式（5.2）解得，进一步计算接触力，将和代入接触条件，验算接触条件是否满足。这样不断的迭代循环，直至和满足接触条件为止，此时得到的解答就是真实接触状态下的解答。在以上的研究中，没有考虑接触面的摩擦力。不考虑摩擦力的接触过程是一种可逆的过程，即最终结果与加载途径无关。此时，只需要进行一次加载，就能得到最终稳定的解。如果考虑接

5、触面的摩擦力，接触过程就是不可逆的，必须采用增量加载的方法进行接触分析。1973年，Tusta和Yamaji的文章详细讨论了接触过程的可逆性和不可逆性。从Wilson和Parsons的方法可看出，每一次接触状态的改变，都要重新形成整体劲度矩阵，求解全部的支配方程，既占内存，又费机时。实际上，接触状态的改变是局部的，只有与接触区域有关的一小部分需要变动，为此又提出一些改进的方法。1975年，Francavilla和Zienkiewicz提出相对简单的柔度法。图5.1示出两个相互接触的物体A和B，假定A上有外力R作用，B有固定边界。接触面作用在A上的接触力是，作用在B上的接触力是，对于

6、二维问题，(5.3)这些接触力是未知的，假定有m个接触点对，则增加了4m个未知量，为此需要补充4m个方程。现列出接触点的柔度方程(5.4)其中，和分别是物体A和B在接触点i处的位移，和分别表示物体A和B因j点作用单位力时在i点引起的位移（即柔度系数）所组成的柔度子矩阵，m1是外荷载作用的点数，为第k个荷载作用点上的荷载向量。如果物体A和B之间的接触属于连续接触，则接触条件为＝＋(5.5)(5.6)（5.5）和（5.6）是4m个补充方程，式中，是第i个接触点对的初始间隙向量。由于式（5.6）的存在，令，未知量数目减少，增加的未知量剩下2m个。将式（5.4）和（5.6）代入（5.5）得

7、(5.7)式（5.7）共有2m个补充方程。对于滑动接触和不接触的自由边界，同样可根据相应的接触条件列出与式（5.7）类似的补充方程求解。引入接触条件后，接触状态变化时，计算对象的整体劲度矩阵不再改变，出现的问题是增加了未知量数，需要建立补充方程。但由于补充方程（5.7）中，、和不随接触状态的改变而变化，而且接触点的数目远小于整体的结点数，因而可大大节约计算时间，提高了求解接触问题的效率。另外一种提高接触问题计算效率的方法是把接触点对作为“单元”考虑。1979年，Oka