高中数学 1.5投影变换教案 湘教版选修4－2

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1、§1.5投影变换教学目标:一、知识与技能：1、理解投影变换的定义及其几何意义；2、掌握投影变换的矩阵表达式，并能初步运用；3、理解可逆变换的存在条件二、方法与过程1、借助例题的探究，发现投影变换的矩阵形式，寻求逆变换的存在条件；2、体会从具体到抽象再到具体的思想方法三、情感、态度与价值观1、培养学生探究精神和合作精神，体验探索的乐趣和成功的喜悦，从而激发学生学习数学的兴趣；2、让学生感受数学的符号美，领会数学公式的美学意义。教学重点:投影变换矩阵的表达式的推导和简单应用教学难点：1、探索可逆变换的存在条件；2、投影变换矩阵形式的生成思路。教学过程一、新课引入在必修2中，我们已经学

2、过立体几何的平行投影，知道物体在灯光或者日光的照射下，会产生影子。如果把正午的太阳光近似看作垂直向下的平行光，一排排树木的影子会投影到各自的树根处，而它们的正视图可以用图来表示。在图中，树木投影前后可以看作是一个平面几何变换。问题：能用矩阵来刻画这个几何变换吗？解：实际上，对平面上的任意一点（），它垂直投影到轴上时，横坐标保持不变，纵坐标变为0，特殊地，轴上的点原地不动。因此，垂直投影前后可以看作是一个几何变换T，并且有。所以变换T对应的矩阵为M=二、讲解新课：1、投影变换设平面上一条给定的直线，对平面上任意一点P，过P作PP`垂直于直线，与直线交于P`，则P`称为P在上的投影。

3、将平面上每个点P变到它在上的投影的变换称为平面到直线上的投影变换。在平面上建立了直角坐标系，求平面到直线：的投影变换矩阵解如图所示，设为P（）在直线上的投影为P`（）。（A，B）是直线的法向量。∥（A，B）是待定系数P`（）在直线上，有所求矩阵为旋转、反射、位似、伸缩变换都是将平面变到整个平面上不同的点。而投影变换则不同，它将整个平面变到一条直线上，而且，与直线垂直的任何一条直线上所有的点都被投影到直线上同一个点。2、投影是否有逆变换投影是否有逆变换？为什么？如图，在任意一条垂直于的直线上任取两个不同的点P，P，则T将P，P变到上同一点P。（P是，的交点）平面上任何一个变换T只能

4、将P变到一个点，不可能将P同时送回到两个不同的点P，P。因此T没有逆变换。由此可见，并非所有的由矩阵决定的变换都有逆变换，要使平面上的变换T有逆变换，必须满足两个条件：1、平面上不同的点被变换T变到不同的点；2、变换T将平面变到整个平面，也就是说：平面上每一个点Q都是平面上某一点P的像T（P）。同时满足这两个条件的变换，称为可逆变换。可逆变换一定有逆变换。如果T是由矩阵决定的变换，则变换前后的点的坐标（），（）之间有关系①如果对任意，将①看成以为未知数的二元一次方程都有唯一一组解，那么变换T就是可逆变换。三、范例讲解例设变换T是平面到直线：上的投影，求下列图形在变换T作用下的像。

5、（1）直线：；（2）直线：（3）正方形OABC，其中O（0，0），A（2，1），C（，2）解：直线方程，设变换T：P（）P`（），则有①（1）当取遍全体实数时，点P（，）取遍直线上所有的点，将P的坐标代入等式①得P`=T（P）的坐标当取遍全体实数时，（）=（，）取遍直线上的所有的点。因此，直线在直线上的投影是整条直线（2）当取遍全体实数时，点P（，）取遍直线上全体实数，P（，）的像P`（）的坐标，P`（0，0）是原点因此，直线的像为原点O（3）先求点B的坐标。由（2，1）+（，2）=（1，3）点B的坐标为（1，3）将A，B，C的坐标分别代入①，计算可得这三点的像A`，B`，C`的

6、坐标分别是A`（，），B`（2，2），C`（，），点O的像是自己，正方形OABC的像应是四条边的像OA`，A`B`，B`C`，C`O的并集，是OB`。四、巩固练习：1、设变换T是平面到直线上的投影，求下列图形在变换T的作用下的像（1）直线；（2）直线2、已知矩阵A=对应的变换为T且变换后点的坐标为（7，14），求原来点的坐标，并判定变换是否可逆。五、小结1、图形关于轴、轴的投影可以利用定义求解，也可以利用变换矩阵求解。2、图形关于直线的投影变换，主要是利用变换矩阵N=3、投影变换没有逆变换，而可逆变换一定可以求出逆变换矩阵。六、课后作业：P24习题5教学反思：