高中数学 2.7《不变直线》教案 湘教版选修4-2

《高中数学 2.7《不变直线》教案 湘教版选修4-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§2.7不变直线教学目标:一、知识与技能：掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义；求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）；利用矩阵A的特征值、特征向量给出A的简单的表示式，并能用它来解决问题。二、方法与过程经历画图、观察、发现，探究方向不变的向量和直线，研究二阶方阵的特征值与特征向量及A型矩阵；体验由特殊到一般再到特殊的数学研究方法。三、情感、态度与价值观提高学生的概括迁移能力，增强学生的逻辑推理能力，体会数学的美学意义，激发学生的学习兴趣。教学重点:求二阶方阵的特征值与特征向量，并利用它求A型矩阵教学难点：矩阵特

2、征值与特征向量的几何意义教学过程一、复习引入：1、任何一个二元一次方程组都可以写成矩阵式＝假如记A＝，X＝，B＝，则方程组具有形式AX＝B其中A称为系数矩阵，detA称为系数行列式。如果detA0，则A可逆，可根据求逆公式求出AX＝AB2、假定方程组中不全为0，但系数行列式＝0，则用加减消去一个末知数之后两个末知数同时消去，得到的方程形如0＝。如果0，方程组无解。如果-6-用心爱心专心＝0，任何一个一次项系数不全为0的方程的全部解都是方程组的全部解，方程有无穷多组解。二、实验观察用数学软件制作课件：取一个矩阵A＝，决定一个线性变换A。将每个点与向量对应起来，变换A将的同

3、时将。通过课件的演示学生观察在变换作用下向量方向的变化：沿顺时针方向转动还是沿逆时针方向转动？是否有的向量方向保持不变，或者变到相反方向？是否有某条直线变到自身？观察发现，两条直线M1M2，N1N2（共4个方向）上的向量方向保持不变，这两条直线被　变到自身，两条直线上共4个方向将平面划分成4个区域，同一区域中向量方向的转向相同，相邻的不同区域中向量方向转向相反。求上面的实验中在线性变换作用下保持方向不变的向量以及保持不变的直线线性变换A：（）（，）使＝每个方向由非零向量代表，只要找到X＝使AX＝X对某个正实数成立。则与X共线的方向上所有的向量在线性变换作用下都保持方向不

4、变。＝，即移项，合并同类项，得此方程组至少有一组解（）＝（0,0）。如果它的系数行列式不为0。则只有这一组解，要使它有非零解（）（0,0），系数行列式必须等于0，即　　　解此一元二次方程，求得两个实数根1.2646，0.7354分别代入方程组，当＝1.2646时，方程组成为解之得：-6-用心爱心专心当＝0.7354，方程组成为解之得：沿直线的向量以及沿直线的向量都保持方向不变，这两条直线被线性变换到自身。一般地，设A＝，A表示的变换A：（）（，）使X＝AX对X＝，X＝成立。假设过原点的某条直线被A变到中，在上任取原点外的一点（），则的像＝A（）的坐标（，）＝（），是某个

5、实数，对这一组（）（0,0），就有＝，即合并同类项，得此方程组至少有一组解（）＝（0,0）。如果它的系数行列式不为0。则只有这一组解，要使它有非零解（）（0,0），系数行列式必须等于0，即　　　如果这个一元二次方程有实数根，对每个实数根代入方程组变可以求出解（）＝（）（0,0），满足条件A＝实际上，对所有的实数，都有A＝设是过原点和点（）的直线，则整个被变换A变到之中，称为在变换A作用下不变的直线　。非零向量被变换A变到自己的倍向量，我们称为A的特征值，称为A的属于特征值的特征向量。-6-用心爱心专心我们也称为矩阵A的特征值，向量的坐标为矩阵A的特征向量。矩阵的特征值和

6、特征向量，就是满足AX＝X的数和非零向量X三、例题解析例1、求下列矩阵A的特征值和特征向量（1）　　　　　　（2）思路点拔：计算A的特征向量的步骤是（1）由矩阵A＝得到矩阵称为特征矩阵（2）求特征矩阵的行列式这是的二次多项式，称为特征多项式。（3）求特征多项式的根，也就是使特征多项式等于0的的值，就是特征值。解：（1）特征矩阵，特征多项式，即解方程＝0，求得＝，＝3将＝代入特征矩阵得，以它为系数矩阵的方程组是解之得，（）＝（，），为任意实数，当0时是特征向量将＝3代入特征矩阵得，以它为系数矩阵的方程组是解之得，（）＝（，），为任意实数，当0时是特征向量（2）特征矩阵，特

7、征多项式显然＝0无实根。因此，A没有实特征值，没有实特征向量。例2、已知矩阵A＝，求A思路点拔：如果找到了A的两个不平行的特征向量X1，X2，则A,1＝X1，AX2＝X2-6-用心爱心专心，A在X1，X2上的作用很简单，相当于分别用，去乘。因此AX1＝X1，AX2＝X2其余的每个向量X都可以写成X1，X2的线性组合X＝X1＋X2，知道了A在X1，X2上的乘法效果，就确定了A在任意X上的乘法效果：A（X1＋X2）＝X1＋X2，由此可确定A。解：由上例已求出A的特征值＝，＝3，并求出属于特征值的特征向量，属于特征值3的特征向量，其中0，取＝1