高中数学 1.3.1二项式定理学案 新人教a版选修2-3

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1、1.3.1二项式定理教学目标:知识与技能:进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式过程与方法:能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观:教学过程中,要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。教学重点:二项式定理及通项公式的掌握及运用教学难点:二项式定理及通项公式的掌握及运用授课类型:新授课教具:多媒体、实物投影仪第一课时一、复习引入:⑴;⑵⑶的各项都是次式,即展开式应有下面形式的各项:,,,,,展开式各项的系数:上面个括号中,每个都不取的情况有种,即种,的系数是;恰有个取的

2、情况有种,的系数是,恰有个取的情况有种,的系数是,恰有个取的情况有种,的系数是,有都取的情况有种,的系数是,∴.二、讲解新课:二项式定理:⑴的展开式的各项都是次式,即展开式应有下面形式的各项:,,…,,…,,⑵展开式各项的系数:每个都不取的情况有种,即种,的系数是;恰有个取的情况有种,的系数是,……,恰有个取的情况有种,的系数是,……,有都取的情况有种,的系数是,∴,这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫的二项展开式,⑶它有项,各项的系数叫二项式系数,⑷叫二项展开式的通项,用表示,即通项.⑸二项式定理中,设,则三、讲解范例:例

3、1.展开.解一:.解二:.例2.展开.解:.第二课时例3.求的展开式中的倒数第项解:的展开式中共项,它的倒数第项是第项,.例4.求(1),(2)的展开式中的第项.解:(1),(2).点评:,的展开后结果相同,但展开式中的第项不相同例5.(1)求的展开式常数项;(2)求的展开式的中间两项解:∵,∴(1)当时展开式是常数项,即常数项为;(2)的展开式共项,它的中间两项分别是第项、第项,,第三课时例6.(1)求的展开式的第4项的系数;(2)求的展开式中的系数及二项式系数解:的展开式的第四项是,∴的展开式的第四项的系数是.(2)∵的展开式的通项

4、是,∴,,∴的系数,的二项式系数.例7.求的展开式中的系数分析:要把上式展开,必须先把三项中的某两项结合起来,看成一项,才可以用二项式定理展开,然后再用一次二项式定理,,也可以先把三项式分解成两个二项式的积,再用二项式定理展开解:(法一),显然,上式中只有第四项中含的项,∴展开式中含的项的系数是(法二):∴展开式中含的项的系数是.例8.已知的展开式中含项的系数为,求展开式中含项的系数最小值分析:展开式中含项的系数是关于的关系式,由展开式中含项的系数为,可得,从而转化为关于或的二次函数求解解:展开式中含的项为∴,即,展开式中含的项的系数为

5、,∵,∴,∴,∴当时,取最小值,但,∴时,即项的系数最小,最小值为,此时.第四课时例9.已知的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列,(1)证明展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有的有理项解:由题意:,即,∴舍去)∴①若是常数项,则,即,∵,这不可能,∴展开式中没有常数项;②若是有理项,当且仅当为整数,∴,∴,即展开式中有三项有理项,分别是:,,例10.求的近似值,使误差小于.解:,展开式中第三项为,小于,以后各项的绝对值更小,可忽略不计,∴,一般地当较小时四、课堂练习:1.求的展开式的第3项.2.求的展开式的第3项.3.写出的

6、展开式的第r+1项.4.求的展开式的第4项的二项式系数,并求第4项的系数.5.用二项式定理展开:(1);(2).6.化简:(1);(2)7.展开式中的第项为,求.8.求展开式的中间项答案:1.2.3.4.展开式的第4项的二项式系数,第4项的系数5.(1);(2).6.(1);(2)7.展开式中的第项为8.展开式的中间项为五、小结:二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明;二项式定理及通项公式的特点六、课后作业:P36习题1.3A组1.2.3.4七、板书设计(略)八、教学反思:(a+b)n=这个公式表示的定理叫做二项式定理,公式

7、右边的多项式叫做(a+b)n的,其中(r=0,1,2,……,n)叫做,叫做二项展开式的通项,它是展开式的第项,展开式共有个项.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式,并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。培养归纳猜想,抽象概括,演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来,是培养学生数学探究能力的极好载体,教学过程中,要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。二项式定理是指这样一个展开式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a

8、2b+3ab2+b3…等等展开式的一般形式,在初等数学中它各章节的联系似乎不太多,而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础,根据二项式定理的展开,才求得y=xn的导数公式y′=nxn-1,同时=e≈2.71

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