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《高中数学 2.4平面向量的数量积教案6 新人教a版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§2.4平面向量的数量积2．4．1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目标：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量数量积的定义，用平面向量的数量积表示向量的模、夹角。教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引
2、导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识。主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的3个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学流程：概念引入→概念获得→简单运用→算律探究→理解掌握→反思提高教学过程：一、复习引入问题1：回忆一下物理中“功”的计算，功的大小与哪些量有关？结合向量的学习你有什么想法？力做的功：W=
3、
4、×
5、
6、cosq，q是与的夹角.（引导学生认识功这个物理量所涉及的物理量，从“向量相乘”的角度进行分析）二、新课讲解1．平面向量数量
7、积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量
8、a
9、
10、b
11、cosq叫ａ与ｂ的数量积，记作a×b，即有a×b=
12、a
13、
14、b
15、cosq，（０≤θ≤π）.并规定：0与任何向量的数量积为0.问题2：定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果还是向量吗？（引导学生认清向量数量积运算定义中既涉及向量模的大小，又涉及向量的交角，运算结果是数量）×注意：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积
16、，写成a×b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bcÞa=c.但是a×b=b×ca=c如右图：a×b=
17、a
18、
19、b
20、cosb=
21、b
22、
23、OA
24、，b×c=
25、b
26、
27、c
28、cosa=
29、b
30、
31、OA
32、Þa×b=b×c但a¹c(5
33、)在实数中，有(a×b)c=a(b×c)，但是(a×b)c¹a(b×c)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.（“投影”的概念）：作图2．定义：
34、b
35、cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q=0°时投影为
36、b
37、；当q=180°时投影为-
38、b
39、.BAC3．向量的数量积的几何意义：数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影
40、b
41、cosq的乘积.例题1：探究1：非
42、零向量的数量积是一个数量，那么它何时为正，何时为0,何时为负？当0°≤θ＜90°时a·b为正；当θ=90°时a·b为零。90°＜θ≤180°时a·b为负探究2：两个向量的夹角决定了它们数量积的符号，那么它们共线或垂直时，数量积有什么特殊性呢？4．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量.（1）a^bÛa×b=0（2）当a与b同向时，a×b=
43、a
44、
45、b
46、；当a与b反向时，a×b=-
47、a
48、
49、b
50、.特别的a×a=
51、a
52、2或（3）
53、a×b
54、≤
55、a
56、
57、b
58、公式变形：cosq=探究3：对一种运算自然会
59、涉及运算律，回忆过去研究过的运算律，向量的数量积应有怎样的运算律？（引导学生类比得出运算律，老师作补充说明）向量a，b，c和实数λ，有（1）a×b=b×a（2）（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）（3）（a+b）×c=a·c+b×c（进一步）你能证明向量数量积的运算律吗？（引导学生证明（1）、（2））例2已知
60、a
61、=6，
62、b
63、=4，a×·b=12，求（1）ａ与ｂ的夹角；（2）
64、a+b
65、；（3）(a+2b)·(a-3b).例3已知
66、a
67、=3，
68、b
69、=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb
70、与a-kb互相垂直.例4（适时补充）判断正误：①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.上述8个命题中只有③⑧正确；评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.三、课堂练习1.已知
71、a
72、=1，
73、b
74、=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（）A.60°B.30°C.135°D.４５
