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《高中数学 2.4平面向量的数量积教案5 新人教a版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第40课平面向量的数量积●考试目标主词填空1.定义及运算律.两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数，而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”.设a及b是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:0°≤θ≤180°,我们把
2、a
3、·
4、b
5、·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=.其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:a·b=b·a，(λ·a)·b=λ(a·b)，(a±b)·c=a·c±b·c.2.平面向量数量积的重要性质.①
6、a
7、==;cosθ=;
8、a·b
9、≤
10、a
11、·
12、b
13、,当且仅当a,b共线时取等号.②设a=(x1
14、,y1),b=(x2,y2),则:
15、a
16、=;cosθ=;
17、x1x2+y1y2
18、≤3.两向量垂直的充要条件若a,b均为非零向量,则:a⊥ba·b=0.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥bx1x2+y1y2=0.4.向量的模及三角不等式
19、a
20、2=a·a或
21、a
22、=;
23、a·b
24、≤
25、a
26、·
27、b
28、;
29、a
30、2-
31、b
32、2=(a+b)·(a-b);
33、a±b
34、=(θ为a,b夹角);
35、
36、a
37、-
38、b
39、
40、≤
41、a±b
42、≤
43、a
44、+
45、b
46、.5.三角不等式的推广形式
47、a1+a2+…+an
48、≤
49、a1
50、+
51、a2
52、+…+
53、an
54、.●题型示例点津归纳【例1】计算下列各题:(1)已知等边三角形ABC边长为1,且=a
55、,=b,=c,求a·b+b·c+c·a;(2)已知a、b、c是空间中两两垂直的向量,且
56、a
57、=1,
58、b
59、=2,
60、c
61、=3,求r=a+b+c的长度以及它和a,b,c的夹角;(3)已知(a+3b)与(7a-5b)垂直,且(a-4b)与(7a-2b)垂直,求a、b的夹角;(4)已知
62、a
63、=2,
64、b
65、=5,a,b的夹角是π,p=3a-b,q=λa+17b,问系数λ取向值时，p⊥q.【解前点津】(1)利用x2=x·x,通过对(a+b+c)2的计算得出结论;(2)运用公式及运算律;(3)利用两向量垂直的充要条件;(4)利用两向量垂直的充要条件，运算律以及内积定义.构造关于λ的方程，解之即得.【规范
66、解答】(1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a·b+b·c+c·a)=3-2(a·b+b·c+c·a)=0a·b+b·c+c·a=.(2)cosr,a=,∵
67、r
68、=且r2=(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a·b+b·c+c·a)=14-2(a·b+b·c+c·a)=14.∴
69、r
70、=cosr,a=;cosr,b=;cosr,c=.(3)由条件:(a+3b)·(7a-5b)=7
71、a
72、2-15
73、b
74、2+16a·b=0,(a-4b)·(7a-2b)=7
75、a
76、2+8
77、b
78、2-30a·b=0
79、a
80、2=
81、b
82、2=2a·b(
83、a
84、·
85、b
86、)2=4(a·b)2.由cosa,b=得:a,
87、b=;由cosa,b=-得:a,b=.(4)令p·q=0得:(3a-b)·(λa+17b)=03λ
88、a
89、2-17
90、b
91、2+(51-λ)a·b=0①将
92、a
93、=2,
94、b
95、=5,a·b=
96、a
97、·
98、b
99、·cos代入①得3λ·4-17×25+(51-λ)·(-5)=0解之:λ=40.【解后归纳】综合利用内积的定义及运算律，内积运算形式与实数运算形式的相互转化，是计算的一项基本功.【例2】在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△ABC的一个内角为直角，求k的值.【解前点津】因谁是直角，尚未确定，故必须分类讨论.【规范解答】①当∠A=90°时,因为·=0,∴2×1+3·k=0,∴k=-.②当∠
100、B=90°时,=-=(1-2,k-3)=(-1,k-3)∵·=0,∴2×(-1)+3×(k-3)=0k=.③当∠C=90°时,∵·=0,∴-1+k·(k-3)=0,k2-3k-1=0k=.∴k的取值为:-,或.【解后归纳】在三角形中计算两向量的内积，应注意方向及两向量的夹角.【例3】用向量法证明以下各题.(1)三角形中的余弦定理:a2=b2+c2-2bc·cosA;(2)平行四边形成为菱形的充要条件是其对角线互相垂直;(3)内接于半圆且以直径为一边的三角形为直角三角形.【解前点津】(1)(如图1)在△ABC中,构造内积·,(2)在平行四边形ABCD中,证明内积·=0.例3题图解(1)【
101、规范解答】(1)在△ABC中.由·=
102、
103、·
104、
105、·cosA=bccosA2·=2bccosA①又∵·=(+)·=(-)·=2-·②∵·=·(+)=2+·③②+③得:2·=2-·+2+·例3题图解(2)=2+2-2=b2+c2-a2代入①得:b2+c2-a2=2bc·cosA故:a2=b2+c2-2bc·cosA.(2)必要性,因平行四边形ABCD为菱形(如图2),那么:
106、
107、=
108、
109、=
110、
111、=
112、
113、于是:例3题图解(3)·=(+)·(+)=(-+)·(+
