高中数学 2．1.1 指数与指数幂的运算教案精讲 新人教a版必修1

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1、2．1.1　指数与指数幂的运算[读教材·填要点]1．根式及相关概念(1)a的n次方根定义：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示：n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数a∈Rn为偶数±[0，＋∞)(3)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质(1)＝0(n∈N*，且n＞1)；(2)()n＝a(n∈N*，且n＞1)；(3)＝a(n为大于1的奇数)；(4)＝

2、a

3、＝(n为大于1的偶数)．3．分数指数幂的意义分数指数幂]正分数指数幂规定：

4、a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)负分数指数幂规定：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)性质0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义　4.有理数指数幂的运算性质(1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．5．无理数指数幂无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．[小问题·大思维]1．根式一定是无理式吗？提示：根式不一定为无理式，如为无理

5、式，而＝

6、x＋1

7、为有理式．2．下列说法正确的有哪几个？①64的6次方根是2；②的运算结果是±2；③负数没有偶次方根．提示：64的6次方根是±2；＝2；③正确．故只有③正确．3.与()n有什么区别？其中实数a的取值各有什么限制？提示：(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶性的限制，a∈R，(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值与n的奇偶性有关；当n为大于1的奇数时，a∈R；当n为大于1的偶数时，a≥0.根式的性质　[例1]　求下列根式的值．(1)；　(2)(3)；　(4)[自主解

8、答]　(1)＝2；(2)＝2－π；(3)＝

9、x＋1

10、＝(4)＝x－6——————————————————(1)要解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式，还是偶次根式.(2)为使开偶次方后不出现符号错误，第一步先用绝对值表示开方的结果，第二步再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.————————————————————————————————————————1．求下列各式的值：(1)；(2)＋(a＜b＜0，n＞1，n∈N*)．解：(1)＝＝＝3＝.(2)当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；当

11、n为偶数时，因为a＜b＜0，所以a－b＜0，a＋b<0，所以原式＝－(a－b)－(a＋b)＝－2a.所以＋＝.根式与分数指数幂的互化[例2]　将下列根式化成分数指数幂形式．(1)·；　(2)；(3)·；　(4)()2·.[自主解答]　(1)·＝；(2)原式＝a·a·a＝a；(3)原式＝a·a＝a；(4)原式＝(a)2·a·b＝ab.——————————————————在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：，其中字母a要使式子有意义.———————————————————————————

12、—————————————2．用分数指数幂表示下列各式：(1)·(a<0)；(2)(a，b>0)；(3)()(b<0)；(4)(x≠0)．解：(1)原式＝a·(－a)＝－(－a)·(－a)＝－(－a)(a<0)；(2)原式＝＝＝()＝ab(a，b>0)(3)原式＝b＝(－b)(b<0)(4)原式＝＝＝x.分数指数幂的运算[例3]　计算下列各式：(1)(2)0＋2－2·(2)－(0.01)0.5；(2)(0.064)－(－)0＋[(－2)3]＋16－0.75；(3)()·(a＞0，b＞0)．[自主解答]　(1)原式＝1＋×

13、()－()＝1＋－＝.(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝.(3)原式＝·a·a·b·b＝a0b0＝.——————————————————(1)指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号；底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.(2)根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指

14、数的方法，然后运用运算性质准确求解.(3)对于含有字母的化简求值结果，一般用分数指数幂的形式表示.————————————————————————————————————————3．计算下列各式：(1)(2)0.5＋(0.1)－2＋(2)＋3π0＋；(2)；(3)0.0256－0＋()·(2)－160.75.解：(1