高中数学 3.1 1数系的扩充和复数的概念教案 新人教a版选修2-2

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1、2013年高中数学3.11数系的扩充和复数的概念教案新人教A版选修2-2【教学目标】1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；2．理解复数的有关概念以及符号表示；3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念；4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．【教学重点】引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念．【教学难点】复数概念的理解．【教学过程】1．对数集因生

2、产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）自然数整数有理数无理数实数2．提出问题我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？3．组织讨论，研究问题我们说，实系数一元二次方程没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1．4．引入新数

3、，并给出它的两条性质根据前面讨论结果，我们引入一个新数，叫做虚数单位，并规定：（1）；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．有了前面的讨论，引入新数，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是）．5．提出复数的概念根据虚数单位的第（2）条性质，可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成这样，数的范围又扩充了，出现了形如的数，我们把它们叫做复数．全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，显

4、然有：N*NZQRC．【巩固练习】下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？例1.实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数，由复数z＝a＋bi是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数m的值．6．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是由此容易得出：例2已知,其中，x,yR，求x与y．分析：因为x，y∈R，所以由两个复数相等的

5、定义，可列出关于x，y的方程组，解这个方程组，可求出x，y的值．练习：【课堂游戏】【想一想】两个复数是否可以比较大小.【归纳总结】一、数系的扩充；二、复数有关的概念：1、复数的代数形式；2、复数的实部、虚部。3、虚数、纯虚数；4、复数的相等.【布置作业】习题3.1A组123《数系的扩充与复数的概念》教案说明《数系的扩充与复数的概念》是人教版普通高中数学实验教材选修2-2第三章第一节的内容，课时安排约一课时。复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一

6、步学习数学打下了基础。通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。学习目标为（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的。虚数单位、实部、虚部的命名，复数想等的充要条件，以及虚数、纯虚数等概念的理解，都应促进对复数实质的理解，即复

7、数实际上是一有序实数对。类比实数可以用数轴表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的几何表示，这就把数和形有机的结合了起来。另外复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，运用复数法可以解决函数最值、三角恒等式、组合问题、不等式问题、数列问题等。而复数在电力、热力学、流体力学、固体力学、系统分析、信号分析、反常积分等方面都有应用。在学习本节课的过程中，复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，采用讲解已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数系的扩充是生产实践的需要，也是数学

8、学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类。由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难，也就是对虚数单位的引入难以理解。另外虚数单位和实数进行四则运算也不容易接受。