高中数学 6.3不等式的证明（第一课时） 大纲人教版必修

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1、6.3不等式的证明●课时安排5课时●从容说课本小节内容较多，既是本章的重点，也是本章的难点.证明不等式就是要证明所给不等式在给定条件下恒成立.由于不等式的形式多种多样，所以不等式的证明方法也就灵活多样，具体问题具体分析是证明不等式的精髓.本小节课本中通过七个例题，分别介绍了证明不等式最常用的方法——比较法、综合法、分析法.本小节教学时间约需5课时.1.教材中首先指出了比较法的依据，接着通过四个例题介绍了用比较法证明不等式的具体步骤.在教学时，应强调：（1）在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法.比较法是利用不等式两边的差是

2、正数或负数来证明不等式，因而其应用非常广泛.在这之前，比较两个数或式子的大小，证明不等式的性质等，都用过这种方法.在证明算术平均数与几何平均数的定理时也用过这种方法.因此，要求学生熟练掌握.（2）不等式两边的差的符号是正或负，一般必须利用不等式的性质经过变形后才能判断.在这里，变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少.至于怎样变形，教材中作了示范，有的用配方法（例1），有的用通分的方法（例2），有的用因式分解法（例3）等，为此，有时把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式，或者变形为一个分式，或者变形

3、为几个因式的积的形式等.总之，能够判断出差的符号是正或负即可.讲完课本例3后，可以向学生提问，如果取消“a≠b”这个条件，其结论如何.课本例4是一道利用不等式解决实际问题的例题.教学时，可以先让学生类比列方程解应用题的步骤，然后参考列方程解应用题的步骤，分析题意，设未知数，找出数量关系（函数关系、相等关系或不等关系），列出函数关系、等式或不等式，求解，作答等.2.证明不等式，也可根据不等式的性质和已经证明过的不等式来进行.这就是用综合法来证明不等式.在6.1节中证明不等式的性质，6.2节中证明两个正数的算术平均数与几何平均数的定理时，实际

4、上已用过这种方法.在讲用综合法证明不等式时，应向学生说明：（1）用综合法证明不等式的逻辑关系是：AB1B2…BnB.（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）由此可见，综合法是“由因导果”，即由已经条件出发，推导出所要证明的不等式成立.（2）运用不等式的性质和已证明过的不等式时，要注意它们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误.3.分析法也是证明不等式时一种常用的基本方法.当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决.特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效.另外对于恒等式的证明，也同样可以运用.用分析法论证“若

5、A则B”这个命题的模式式是：为了证明命题B为真，这只需证明命题B1为真，从而有……这只需证明命题B2为真，从而又有……这只需证明命题A为真.而已知A为真，故B为真.可见分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法.用分析法证明不等式的逻辑关系是：BB1B2…BnB.（结论）（步步寻求不等式成立的充分条件）（已知）有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立.这也是分析法，注意应强调“以上每一步都可

6、逆”，并说出可逆的根据.课本中例7所用的方法就是如此.这是一道不等式证明的实际应用题，教学时，应先让学生分析题意，找出已知条件和要证明的结论，然后，依题意设字母，列出不等式，再进行证明.分析法是教学过程中的一个难点，一是难在初学时不易理解它的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件，二是不易正确使用连接有关（分析推理）步骤的关键词.如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定……成立”等，一定要在教学中帮助学生克服运用分析法的困难.4.一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手.因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加

7、以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的.证明不等式的方法，课本只介绍了三种最基本又常用的方法.教学中，主要应着眼于培养学生的能力，使学生能针对具体问题具体分析，灵活地运用各种证法.对于这几种证明方法，只是为了教学的需要，才把它们分开来讲.在运用时，不仅可以根据实际情况灵活选择，而且必要时，可以并且应该综合运用它们去证明同一个问题.最后，不等式的证明题，由于题型多变，方法多样、技巧性强，同时又无固定规律可循，往往不是只用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的体现.因此，我们在学习课本中介绍的证明不等式的基本

8、方法（如比较法、综合法、分析法、公式法）的基础上，又学习了证明不等式的其他常用方法，如分析综合法、反证法、判别式法、换元法、放缩法、数学归纳法等等.其中放缩法是一种证题技巧，要想用好它，证题必