2019-2020年高中数学 6.3不等式的证明(第一课时) 大纲人教版必修

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1、2019-2020年高中数学6.3不等式的证明(第一课时)大纲人教版必修●课时安排5课时●从容说课本小节内容较多,既是本章的重点,也是本章的难点.证明不等式就是要证明所给不等式在给定条件下恒成立.由于不等式的形式多种多样,所以不等式的证明方法也就灵活多样,具体问题具体分析是证明不等式的精髓.本小节课本中通过七个例题,分别介绍了证明不等式最常用的方法——比较法、综合法、分析法.本小节教学时间约需5课时.1.教材中首先指出了比较法的依据,接着通过四个例题介绍了用比较法证明不等式的具体步骤.在教学时,应强调:

2、(1)在证明不等式的各种方法中,比较法是最基本、最重要的方法.比较法是利用不等式两边的差是正数或负数来证明不等式,因而其应用非常广泛.在这之前,比较两个数或式子的大小,证明不等式的性质等,都用过这种方法.在证明算术平均数与几何平均数的定理时也用过这种方法.因此,要求学生熟练掌握.(2)不等式两边的差的符号是正或负,一般必须利用不等式的性质经过变形后才能判断.在这里,变形的目的全在于判断差的符号,而不必考虑差的值是多少.至于怎样变形,教材中作了示范,有的用配方法(例1),有的用通分的方法(例2),有的用因

3、式分解法(例3)等,为此,有时把差变形为一个常数,或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式,或者变形为一个分式,或者变形为几个因式的积的形式等.总之,能够判断出差的符号是正或负即可.讲完课本例3后,可以向学生提问,如果取消“a≠b”这个条件,其结论如何.课本例4是一道利用不等式解决实际问题的例题.教学时,可以先让学生类比列方程解应用题的步骤,然后参考列方程解应用题的步骤,分析题意,设未知数,找出数量关系(函数关系、相等关系或不等关系),列出函数关系、等式或不等式,求解,作答等.2.证明不等式,也可

4、根据不等式的性质和已经证明过的不等式来进行.这就是用综合法来证明不等式.在6.1节中证明不等式的性质,6.2节中证明两个正数的算术平均数与几何平均数的定理时,实际上已用过这种方法.在讲用综合法证明不等式时,应向学生说明:(1)用综合法证明不等式的逻辑关系是:AB1B2…BnB.(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)由此可见,综合法是“由因导果”,即由已经条件出发,推导出所要证明的不等式成立.(2)运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件,这样才能使推理正确,结论无误.3.

5、分析法也是证明不等式时一种常用的基本方法.当证题不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决.特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效.另外对于恒等式的证明,也同样可以运用.用分析法论证“若A则B”这个命题的模式式是:为了证明命题B为真,这只需证明命题B1为真,从而有……这只需证明命题B2为真,从而又有……这只需证明命题A为真.而已知A为真,故B为真.可见分析法是“执果索因”,步步寻求上一步成立的充分条件,它与综合法是对立统一的两种方法.用分析法证明不等式的逻辑关系是:BB1B2…BnB.(结

6、论)(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知)有时,我们也可以首先假定所要证明的不等式成立,逐步推出一个已知成立的不等式,只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的,那么就可以断定所给的不等式成立.这也是分析法,注意应强调“以上每一步都可逆”,并说出可逆的根据.课本中例7所用的方法就是如此.这是一道不等式证明的实际应用题,教学时,应先让学生分析题意,找出已知条件和要证明的结论,然后,依题意设字母,列出不等式,再进行证明.分析法是教学过程中的一个难点,一是难在初学时不易理解它的本质是从结论分析出使结论成立的“

7、充分”条件,二是不易正确使用连接有关(分析推理)步骤的关键词.如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定……成立”等,一定要在教学中帮助学生克服运用分析法的困难.4.一般来说,对于较复杂的不等式,直接运用综合法往往不易入手.因此,通常用分析法探索证题途径,然后用综合法加以证明,所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的.证明不等式的方法,课本只介绍了三种最基本又常用的方法.教学中,主要应着眼于培养学生的能力,使学生能针对具体问题具体分析,灵活地运用各种证法.对于这几种证明方法,只是为了教学的需要,才把它们

8、分开来讲.在运用时,不仅可以根据实际情况灵活选择,而且必要时,可以并且应该综合运用它们去证明同一个问题.最后,不等式的证明题,由于题型多变,方法多样、技巧性强,同时又无固定规律可循,往往不是只用一种方法就能解决的,它是多种方法的灵活运用,也是各种思想方法的体现.因此,我们在学习课本中介绍的证明不等式的基本方法(如比较法、综合法、分析法、公式法)的基础上,又学习了证明不等式的其他常用方法,如分析综合法、反证法、判别式法、换元法、放缩法、数学归

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