高中数学 两角和与差的余弦、正弦、正切教案 苏教版必修4

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1、两角和与差的余弦、正弦、正切教学目标：熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，理解公式：asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋)(其中cos＝，sin＝，θ为任意角)，灵活应用上述公式解决相关问题；培养学生的创新意识，提高学生的思维素质.教学重点：利用两角和与差的正、余弦公式将asinθ＋bcosθ形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式.教学难点：使学生理解并掌握将asinθ＋bcosθ形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式，并能灵活应用其解决一些问题.教学过程：Ⅰ.复习回顾同学们

2、，观察这些关系式，不难看出这是我们前面所推导出的两角和与差的正余弦公式的倒写形式.有时，直接利用这种形式可使问题简化，这节课，我们就来探讨一下它的运用.Ⅱ.讲授新课［例1］求证cosα＋sinα＝2sin(＋α)证明：右边＝2sin(＋α)＝2(sincosα＋cossinα)＝2(cosα＋sinα)＝左边由于同学们对两角和的正弦公式比较熟悉，所以要证此式容易想到从右边往左边推证，只要将右边按照两角和的正弦公式展开，化简便可推出左边.也可这样考虑：左边＝cosα＋sinα＝2(cosα＋sin

3、α)＝2(sincosα＋cossinα)＝2sin(＋α)＝右边(其中令＝sin，＝cos)［例2］求证cosα＋sinα＝2cos(－α)分析：要证此式，可从右边按照两角差的余弦公式展开，化简整理可证此式.若从左边推证，则要仔细分析，构造形式即：左＝cosα＋sinα＝2(cosα＋sinα)＝2(coscosα＋sinsinα)＝2cos(－α)(其中令＝cos，＝sin)综合上两例可看出对于左式cosα＋sinα可化为两种形式2sin(＋α)或2cos(－α)，右边的两种形式均为一个角的

4、三角函数形式.那么，对于asinα＋bcosα的式子是否都可化为一个角的三角函数形式呢?推导公式：asinα＋bcosα＝(sinα＋cosα)由于()2＋()2＝1，sin2θ＋cos2θ＝1(1)若令＝sinθ，则＝cosθ∴asinα＋bcosα＝(sinθsinα＋cosθcosα)＝cos(θ－α)或原式＝cos(α－θ)(2)若令＝cos，则＝sin∴asinα＋bcosα＝(sinαcos＋cosαsin)＝sin(α＋)例如：2sinθ＋cosθ＝(sinθ＋cosθ)若令cos

5、＝，则sin＝∴2sinθ＋cosθ＝(sinθcos＋cosθsin)＝sin(θ＋)若令＝sinβ，则＝cosβ∴2sinθ＋cosθ＝(cosθcosβ＋sinθsinβ)＝cos(θ－β)或原式＝cos(β－θ)看来，asinθ＋bcosθ均可化为某一个角的三角函数形式，且有两种形式.Ⅲ.课堂练习1.求证：(1)sinα＋cosα＝sin(α＋)(2)cosθ＋sinθ＝sin(θ＋)(3)(sinx＋cosx)＝2cos(x－)证明：(1)sinα＋cosα＝sin(α＋)证法一：左边

6、＝sinαcos＋cosαsin＝sin(α＋)＝右边证法二：右边＝sinαcos＋cosαsin＝sinα＋cosα＝左边(2)cosθ＋sinθ＝sin(θ＋)证法一：左边＝(cosθ＋sinθ)＝(sincosθ＋cossinθ)＝sin(θ＋)＝右边证法二：右边＝(sinθcos＋cosθsin)＝(sinθ＋cosθ)＝cosθ＋sinθ＝左边(3)(sinx+cosx)＝2cos(x－)证法一：左边＝(sinx＋cosx)＝2(sinx＋cosx)＝2(cosxcos＋sinxsin

7、)＝2cos(x－)＝右边证法二：右边＝2cos(x－)＝2(cosxcos＋sinxsin)＝2(cosx＋sinx)＝(cosx＋sinx)＝左边2.利用和(差)角公式化简：(1)sinx＋cosx(2)3sinx－3cosx(3)sinx－cosx(4)sin(－x)＋cos(－x)解：(1)sinx＋cosx＝sinxcos＋cosxsin＝sin(x＋)或：原式＝sinxsin＋cosxcos＝cos(x－)(2)3sinx－3cosx＝6(sinx－cosx)＝6(sinxcos－c

8、osxsin)＝6sin(x－)或：原式＝6(sinsinx－cos·cosx)＝－6cos(x＋)(3)sinx－cosx＝2(sinx－cosx)＝2sin(x－)＝－2cos(x＋)(4)sin(－x)＋cos(－x)＝［sin(－x)＋cos(－x)］＝［sinsin(－x)＋coscos(－x)］＝cos［－(－x)］＝cos(x－)或：原式＝［sin(－x)cos＋cos(－x)sin］＝sin［(－x)＋］＝sin(－x)Ⅳ.课时小结通过本节的学习，要在熟练掌握两角和与差的余弦、正