高中数学 奥赛辅导精品第八讲 复数

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1、第八讲复数知识、方法、技能I．复数的四种表示形式代数形式：R）几何形式：复平面上的点Z（）或由原点出发的向量.三角形式：R.指数形式：.复数的以上几种形式，沟通了代数、三角、几何等学科间的联系，使人们应用复数解决相关问题成为现实.II．复数的运算法则加、减法：乘法：除法：乘方：N）；开方：复数次方根是III．复数的模与共轭复数复数的模的性质①②③④、对应的向量、反向时取等号；⑤，与复数对应的向量同时取等号.共轭复数的性质①；②；③④；⑤；⑥⑦z是实数的充要条件是是纯虚的充要条件是Ⅳ．复数解题的常用方法与思想（1）两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模与辐角主值相等

2、（辐角相差2的整数倍）.利用复数相等的充要条件，可以把复数问题转化为实数问题，从而获得解决问题的一种途径.（2）复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质，是模运算中的一个突出方面.赛题精讲例1：设m、n为非零实数，i为虚单位，C，则方程①与②如图I—1—8—1，在同一复平面内的图形（F1、F2是焦点）是（）图I—1—8—1【思路分析】可根据复平面内点的轨迹的定义；也可根据m、n的取值讨论进行求解.【略解】由复平面内点的轨迹的定义，得方程①在复平面上表示以点为焦点的椭圆，.这表明，至少有一焦点在下半虚轴上，可见（A）不真.又由方程①，椭圆的长轴之长为n，∴

3、F1F2

4、<

5、n，而图（C）中有

6、OF1

7、=n，可见（C）不真.又因椭圆与双曲线共焦点，必有椭圆的长轴长大于双曲线的实轴长，即故在图（B）与（D）中，均有F1:－ni，F2:mi，且.由方程②，双曲线上的点应满足，到F2点的距离小于该点到F1点的距离.答案：（B）【别解】仿上得n>0.（1）若这时，在坐标平面上，F1（0，－n），F2（0，m），只可能为图象（C），但与

8、F1F2

9、<长轴n，而

10、OF1

11、=n矛盾.（2）若均在y轴的下半轴下，故只能为图象（B）与（D）.又因椭圆与双曲线共焦点，必有椭圆的长轴长大于双曲线的实轴长，即

12、n

13、>

14、m

15、.故在（B）与（D）中，均有F1:－ni；F2:mi，且m<

16、0.由方程②，双曲线上的点应满足到F2点的距离小于该点到F1点的距离.答案：（B）【评述】（1）本题涉及的知识点：复数的几何意义，复平面上的曲线与方程，椭圆，双曲线，共焦点的椭圆与双曲线，讨论法.（2）本题属于读图题型.两种解法均为基本方法：解法中前者为定义法；后者为分类讨论法.例2：若的值是.【思路分析】本题可由已知条件入手求出复数z的模，继而求出复数；也可由几何意义入手来求复数z.【略解】令①②①—②得解得代入后，①+②得【别解】如图I—1—8—2，.过D作与实轴平行的直线AB，取AD=BD=4，【评述】本题的两种解法中，前者应用了复数的三角形式；后者应用了复数的几何意义，数形结合，

17、形象直观.例3：x的二次方程、、m均是复数，且.设这个方程的两个根为、，且满足.求

18、m

19、的最大值和最小值.【解法1】根据韦达定理有图I—1—8—3这表明复数m在以A（4，5）为圆心，以7为半径的圆周上如图I—1—8—3所示.故原点O在⊙A之内.连接OA，延长交⊙A于两点B与C，则

20、OB

21、=

22、OA

23、+

24、AB

25、=最大值.

26、OC

27、=

28、CA

29、－

30、AO

31、=7－最小值.∴

32、m

33、的最大值是的最小值是7－.【解法2】同解法1，得R）.其中∴

34、m

35、的最大值=

36、m

37、的最小值=【解法3】根据韦达定理，有，∴等号成立的充要条件是的辐角主值相差，即取最小值【评述】三种解法，各有千秋.解法1运用数形结合法，揭示复数

38、m的几何意义，直观清晰；解法2则活用三角知识，把化为角“”的正弦；解法3运用不等式中等号成立的条件获得答案；三种解法从不同侧面刻面了本题的内在结构特征.例4：若R，R，中元素的个数为（）A．0B．1C．2D．4解法同本章一的练习第4题.例5：设复数.【思路分析】应先设法求出的值.【评述】由题设知因为当，可得同样结果，故答案4000.【评述】此题属填空题中的难题，故解题时应仔细.例6：设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为则复数所对应的不同的点的个数是（）A．4B．5C．10D．20【思路分析】如题设可知，应设.故解题中应注意分解因式.【解法1】因为我们只关心不同的点

39、的个数，所以不失一般性可设.由，有【答案】A.【解法2】由可知只有4个取值，而=（）3的取值不会增加，则B、C、D均应排除，故应选A.【评述】上述两个解法均为基本方法.思维的起点是不失一般性设，于是可用直接法（解法1）和排除法（解法2）.