高中数学奥赛辅导：第二讲整除

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1、www.canpoint.cn高中数学奥赛辅导第二讲整除知识、方法、技能整除是整数的一个重要内容，这里仅介绍其中的几个方面：整数的整除性、最大公约数、最小公倍数、方幂问题.Ⅰ.整数的整除性初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合.我们知道，整数集合中可以作加、减、乘法运算，并且这些运算满足一些规律（即加法和乘法的结合律和交换律，加法与乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如是整除，，则不一定是整数.由此引出初等数论中第一个基本概念：整数的整除性.定义一：（带余除法）对于任一整数和任一整数，必有惟一的一对整数，使得，，并且整数和由上述条件惟一确定，则称为除的不完全商，称为

2、除的余数.若，则称整除，或被整除，或称的倍数，或称的约数（又叫因子），记为.否则，

3、.任何的非的约数，叫做的真约数.0是任何整数的倍数，1是任何整数的约数.任一非零的整数是其本身的约数，也是其本身的倍数.由整除的定义，不难得出整除的如下性质：（1）若（2）若（3）若，则反之，亦成立.（4）若.因此，若.（5）、互质，若（6）为质数，若则必能整除中的某一个.特别地，若为质数，上犹中学sheng2181@sina.com第11页共11页www.canpoint.cn（7）如在等式中除开某一项外，其余各项都是的倍数，则这一项也是的倍数.（8）n个连续整数中有且只有一个是n的倍数.

4、（9）任何n个连续整数之积一定是n的倍数.本讲开始在整除的定义同时给出了约数的概念，又由上一讲的算术基本定理，我们就可以讨论整数的约数的个数了.定理一：设大于1的整数的标准分解式为为质数，均为非负整数），则a的约数的个数为.所有的约数和为：.事实上，由算术基本定理的推论知，而各约数的和就是展开后的各项之和，所以例如，25200=24·32·52·7，所以，.Ⅱ.最大公约数和最小公倍数定义二：设、是两个不全为0的整数.若整数c满足：，则称的公约数，的所有公约数中的最大者称为的最大公约数，记为.如果=1，则称互质或互素.定义三：如果、的倍数，则称、的公倍数.上犹中学sheng2

5、181@sina.com第11页共11页www.canpoint.cn的公倍数中最小的正数称为的最小公倍数，记为.最大公约数和最小公倍数的概念可以推广到有限多个整数的情形，并用表示的最大公约数，表示的最小公倍数.若，则称互质，若中任何两个都互质，则称它们是两两互质的.注意，n个整数互质与n个整数两两互质是不同的概念，前者成立时后者不一定成立（例如，3，15，8互质，但不两两互质）；显然后者成立时，前者必成立.因为任何正数都不是0的倍数，所以在讨论最小公倍数时，一般都假定这些整数不为0.同时，由于有相同的公约数，且（有限多个亦成立），因此，我们总限于在自然数集合内来讨论数的最

6、大公约数和最小公倍数.显然，若的标准分解式为为质数，为非负整数），则①②例如3960=23·32·5·11，756=22·33·7，则（3960，756）=22·32=36，[3960，756]=23·33·5·7·11=83160.求最大公约数也可以用辗转相除法，其理论依据是：定理二：设a、b、c是三个不全为0的整数，且有整数t使得，则a、b与b、c有相同的公约数，因而，即因为，若、b的任一公约数，则由、c的公约数；反之，若、c的任一公约数，、b的公约数.辗转相除法：设、，由带余除法有上犹中学sheng2181@sina.com第11页共11页www.canpoint.c

7、n③因为每进行一次带余除法，余数至少减1，即，而b为有限数，因此，必有一个最多不超过b的正整数n存在，使得，而，故由定理二得：例如，（3960，756）=（756，180）=（180，36）=36.具体算式如下：5（q1）3960（a）756（b）4（q2）3780720180（r1）36（r2）5（q3）1800（r3）由定义和上述求法不难得出最大公约数和最小公倍数的如下性质：（1）.（2）设的公约数，则特别地，若.（3）设是任意n个正整数，如果，则.因，如此类推得出能整除是它们的一个公约数.又设的任一公约数，则，因而，同理可推出，如此类推最后可得.于是，故是最大公约数.

8、（4）若，则一定有整数，使得.特别地，存在.上犹中学sheng2181@sina.com第11页共11页www.canpoint.cn这可由辗转相除法的③式逆推而得.（5）若.（6）①；②的任一公倍数，则；③，特别地，若.①可由③直接得到，②可由最小公倍数定义得，③根据①、②式知，.（7）设是任意个正整数.若mn，则.这是一个求多个整数的最小公倍数的方法.它可用证明③类似的方法来证明.Ⅲ.方幂问题一个正整数能否表成个整数的次方和的问题称为方幂和问题.特别地，当时称为次方问题，当时，称为平方和问题.能表为某整数的平方