高中数学 第26课时——对数函数(4)教案(新人教b版) 教师版

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1、第26课时对数函数(4)【学习导航】学习要求1、进一步巩固对数函数的性质;2、掌握简单的对数不等式求解方法;3、掌握对数函数与恒成立问题。【精典范例】一、对数不等式的求解方法例1、解关于x的对数不等式;2loga(x-4)>loga(x-2).思维分析:可以去掉对数符号,化为一般的代数不等式求解;同时考虑到底数a的取值范围不确定,故应进行分类讨论。解:原不等式等价于(1)当a>1时,又等价于解之,得x>6。(2)当01时,为(6,+∞);当0

2、1时,为(4,6).二、以对数函数为模型的抽象函数问题例2、已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),满足f(4)=1,f(xy)=f(x)+f(y).(1)证明f(1)=0;(2)求f(16);(3)试证f(xn)=nf(x),n∈N*.思维分析:这显然是一个抽象函数。根据题目给定的三个条件,可以将对数函数y=log4x作为该函数的原型,从而找到问题的解决思路与方法。(1)证明:令x=y=1,则得f(1)=f(1)+f(1),故f(1)=0;(2)解:令x=y=4,则有f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)

3、=1+1=2;(3)证明:f(xn)=f(x·x·…·x)(n个x)=f(x)+f(x)+…+f(x)=nf(x)(n个f(x))三、对数函数与恒成立问题例3:已知:在上恒有,求实数的取值范围。分析:去掉绝对值符号,转化为含对数式的不等式。【解】∵,∴当时,,由在上恒成立,得在上恒成立,∴,∴(1)当时,,由在上恒成立,得在上恒成立,∴,∴(2)由(1)(2)可知,实数的取值范围为思维点拔:本题的特点是给出了自变量的取值范围,求字母的取值范围,它与解不等式有本质的区别,在上恒成立,是指在上的所有值都大于1,这是一

4、个不定问题,但转化为函数的最大(最小)值后,问题就简单了,这类问题的一般结论是:(1)(为常数,)恒成立,(2)(为常数,)恒成立,利用这两个结论,可以把“不定”问题转化为“定”的问题。追踪训练1、解不等式解答:{x

5、-1

6、0满足f()=f(x)-f(y)

7、,当x>1时有f(x)<0,试判断f(x)的单调性并证明.解答:f(x)在(0,+∞)上是减函数。证明略。4、已知函数,当时,恒成立,求实数的取值范围。解:要使当时,恒成立,即要:当恒成立令(1)当,即时,得(2)当,即时,得(舍去)(3)当,即时,得∴由(1)(2)(3)可知,实数的取值范围为。

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