高中数学《命题及其关系》教案3 新人教a版选修2-1

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1、课题命题及其关系教学目标：理解充要条件的概念掌握判断命题条件的充要性的方法，把充要条件的思想自觉地运用到解题之中.教学重点：命题条件的充要性的正确判断教学难点：充分性与必要性的推导顺序教学手段：多媒体教学过程备课札记一、创设情境由上节内容可知，一个命题条件的充分性和必要性可分为四类：充分不必要条件；必要不充分条件；既充分又必要条件（充要条件）；既不充分也不必要条件。问题1：探讨下列生活中名言名句的逻辑关系．（1）水滴石穿（2）骄兵必败（3）有志者事竞成（4）头发长，见识短（5）名师出高徒（6）放下屠刀

2、，立地成佛（7）兔子尾巴长不了（8）不到长城非好汉（9）春回大地，万物复苏（10）海内存知己（11）蜡炬成灰泪始干（12）玉不琢，不成器说明：由于生活语言不可能象数学命题一样准确，因此学生不同观点的碰撞在所难免，作为教师，只要学生的推断能在某种前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，不同的观点应允许共存，关键是只要学生能“学会数学地思维”，教师可以根据自己班级的情况选讲其中的部分．二、活动尝试在数学中有很多可逆的命题，如（1）若a是无理数，则a+5是无理数；（2）若a>b,则a+

3、c>b+c;（3）若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根，则判别式Δ>0．这些可逆的命题，反映在逻辑关系上就是命题的条件具有充要性。本节课我们主要来研究命题中既充分又必要的条件问题。三、师生探究问题2：指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：（1）p：x>2，q：x>1；（2）p：x>1,q：x>2；（3）p：x>0,y>0，q：x+y<0；（4）p：x=0，y=0，q：x2+y2=0.解：（1）∵x>2x>1，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件.（2）∵x>1x>2，但x>

4、2x>1，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件.（3）∵x>0,y>0x+y<0，x+y<0x>0,y>0，∴p不是q的充分条件，p也不是q的必要条件；q不是p的充分条件，q也不是p的必要条件.（4）∵x=0，y=0x2+y2=0，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x2+y2=0x=0，y=0，∴q是p的充分条件，p是q的必要条件.在问题⑷中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.下面我们用数学语言来表述这个概念.四、数学理论1．相关的概念如

5、果既有pq，又有qp，就记作pq。我们就说，p和q互为的充要条。说明：⑴符号“”叫做等价符号.“pq”表示“pq且pq”；也表示“p等价于q”.⑵“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”.2.充要条件的判断方法四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么，结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）；⑶确定条件是结论的什么条件.、⑷充要性包含：充分性pq，必要性qp这两个方

6、面，缺一不可。五、巩固运用例1：两条不重合的直线l1、l2(共同前提)．l1与l2的斜率分别为k1、k2，且k1=k2是l1∥l2的什么条件？延伸：如何改变命题的条件(或结论)，使命题的条件是结论的充要条件呢？把命题的结论改为“l1∥l2，且l1、l2都有斜率”即可．例2：设A=｛x｜-2≤x≤a｝，B=｛y｜y=2x+3,x∈A｝，M=｛Z｜Z=x2,x∈A｝.求使MB的充要条件是什么?解：∵A=｛x｜-2≤x≤a｝,M=｛Z｜Z=x2,x∈A｝.∴B=｛y｜y=2x+3,x∈A｝=｛y｜-1≤y≤

7、2a+3｝.当-2≤a＜0时，M=｛Z｜a2≤Z≤4｝.当0≤a≤2时，M=｛Z｜0≤Z≤4｝.当a＞2时，M=｛Z｜0≤Z≤a2｝.∴当-2≤a＜2时，MB4≤2a+3，即≤a≤2；当a＞2时，MBa2≤2a+3，即2＜a≤3.综上可知，所求的充要条件为≤a≤3.*例3:求证实系数一元二次方程有两个异号根的充要条件是解析：首先要区分清楚“必要性”、“充分性”各应证明的命题，分清这里的条件和结论各是什么。证明：（1）先证充分性∵∴方程的∴方程有两个不相等的实根，设其为。∵∴方程有两个异号实根（2）再证

8、必要性∵方程有两个异号实根，设其为∴∵∴由（1）（2）原命题得证。评析注意，证明充分必要条件，实际上需要证明原命题和逆命题都成立.它亦等价于证明：(1)原命题和否命题都成立；(2)逆否命题和逆命题都成立；(3)逆否命题和否命题都成立.这种等价转换的思想，就能使思路更广阔，方法更灵活，复杂问题简单化.六、回顾反思本节课的主要内容是“充要条件”的判定方法，即如果pÞq且qÞp，则p是q的充要条件．七、课后练习1．“xy＞0”是“｜x+y｜=｜x｜+｜y｜”的