高中数学奥赛系列辅导材料 集合(二)教案

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1、集合(二)【经验谈】　　集合是数学中的重要基础知识，不论是高考还是数学竞赛中都少不了它的一席之地。本文将帮助你彻底掌握集合知识。【内容综述】集合是组合数学的基础，也是高中数学竞赛中的重要组成部分。希望大家通过本讲学习开拓思路，灵活解题，另外，要想解好集合题目，相关知识也很重要。【例题分析】　　例1：设，，…是有限集合的50个子集，每个子集都含有的半数以上的元素，证明：存在子集，它至多含5个元素，并且和集合，…中每一个集合至少有一个公共元。　　分析：我们知道，这种题目并没有什么特别好的办法，只能一个一个把这5

2、个元素找出来，我们还是可以先将题目简化成简单形式，看是否方便理解一些，但这里我们就不这么做了。　　证明：设集合中元素个数为n，子集，，…中每一个都含以上的元素，即所有这些子集的元素个数大于由抽屉原理，必有集合的元素，它至少属于26个子集，同理可证，对每个，在子集，，…，中至少有个子集，它们具有公共元素，在集合中取出一个元素，它至少属于26个子集，并作为集合中五个元素之一，去掉包含这个元素的26个子集，在余下24个子集中取一个元素，它至少属于13个子集，去掉这13个子集，在余下的11个子集中取一个元素，它至少

3、属于6个子集，在余下5个子集中取一个元素，它属于3个子集，剩下两个子集再取一个公共元素就可以了，于是，求得集合的至多5个元素（在上述过程中所取的元素可能重复，所以可能小于5），它们构成集合，而子集，，…中每一个都至少含有它的一个元素。　　说明：这道题目当和均较小时也就可以作为小学生竞赛题，而数目增大以后却成为了英国高中竞赛题目，假设我们在分析较小的数时可以把规律找出，而这是很简单的，那么整道题目也就迎刃而解了，这就告诉我们，做这类整数问题时，应该时时刻刻想到先将数目变小看看规律，然后再做题目本身。　例2：有

4、11人管理一个保险柜，可以在柜上加若干把锁，每把锁可以有若干把钥匙，问：如何加锁和如何分配各锁的钥匙，才能使任何6个人可以把保险柜打开，但任意5个人却不能。　　分析：我们反过来想一下，假设，，…是11个人打不开的锁的集合，从11个人中任意找5个人的可能性有种情况。要想把它们都区别开，也就是说至少要有462把锁。那么再对462把锁进行构造就可以了。　　解：设加把锁，又设，，…是这11个人各自打不开的锁的集合，从11个集合中任选5个并集都不相同，故至少应有锁把，为分配好各锁的钥匙，设锁号依次为1号，2号，…46

5、2号，同时把11个人任取5个的组合也编上1至462号，然后把锁和组合一一对应起来，给每个人发钥匙时，他所在的组的号的钥匙不给他，其他钥匙都给他，这时就满足题设了。　　说明：这个构造难度很大，这主要原因还是因数目太大了，也应该先从小的数目做起，最后回到原题。例3：把个元素的集合分为若干个两两不交的子集，按照下述规则将某一个子集中某些元素挪到另一个子集：从前一子集挪到后一子集的元素个数等于后一子集的元素个数（前一子集的元素个数应不小于后一子集的元素个数），证明：可以经过有限次挪动，使得到的子集与原集合相重合。分

6、析：首先考虑到是一个很特殊的数，其次我们发现若两个集合的元素个数除以2的若干次幂后若为奇数，那么，它们之间挪后就应为偶数这一事实，若还不能想到解答就试一下，时的情况，相信解答就不会难找到了。证明：考虑含奇数个元素的子集（如果有这样的子集），因为所有子集所含元素的个数总和是偶数，所以具有奇数个元素的子集个数也是偶数，任意将所有含有奇数个元素的子集配成对，对每对子集按题目要求的规则移动：从较大的子集挪出一些元素，添加到较小的子集，挪出的元素个数为较小子集的元素个数，于是得到的所有子集的元素个数都是偶数，现在考虑

7、元素个数不被4整除的子集，如果，则总共有两个元素，它们在同一个子集，因此设，因为子集的元素个数的总数被4整除，因此这样的子集的个数为偶数，任意将这样的子集配成对，对每一对子集施行满足题目要求的挪动，于是得到的每个子集数均可被4整除，依此做下去，最后得到的每个子集元素个数均可被整除，也就是只能有一个子集，它的元素个数为，证毕。说明：这道题的证明中隐含了一种单一变量在变化时变化方向相同这一性质，就这道题来说，一直在增加的就是各子集元素个数被2的多少次幂整除的这个幂次数，这是一大类问题，除了这种变化量，还要经常考

8、虑变化中的不变量。例4：给定1978个集合，每个集合都含有40个元素，已知其中任意两个集合都恰有一个公共元，证明：存在一个元素，它属于全部集合。分析：我们可以先去找一个属于很多个集合的元素，最好它就是我们要找的那一个。证明：考虑给定的1978个集合中任意一个集合，它和其它1977个集合都相交，因此，存在，使得它至少属于其中50个集合，否则，集合中每个元素至多属于49个集合，而集合恰有40个元素，所以除外至多有19