高中数学奥赛系列辅导材料 数论函数教案

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1、数论函数【内容综述】　　本讲介绍数论中常见的一些函数的概念、性质及其应用，主要有　　除数函数——自然数n的正因数的个数函数；　　　　　　——自然数n的全部正因数的和函数；　　欧拉函数——设n是大于1的自然数，则欧拉函数是表示与n互素且不大于n的自然数的个数；（高斯函数或称方括号函数[X]在下讲介绍）为书写清楚，同学们应熟悉连加符号“”与连乘符号“”：　　　　；　　　　　　特别是“”表示对称式的和；　　　　　“”表示对称式的积abc……；【要点讲解】　　§1．约数个数函数　　§2．约数和函数　　§3．欧拉函数φ(n)　　★　　　　　　　　　　　　　　★　　　　　　　　　　　　　★§1．

2、约数个数函数　　定义1设，则的正约数的个数称为函数。　　定理1设，且是质数，则　　　　　　　　略证：由乘法原理，约数系由、、…、的不同取法而生成，它们的取法分别有　　　　种（含不取该约数的1种取法），故得证　　　　　　例1.求24的正约数个数。　　解：　　　　事实上，易求得约数分别是1，2，3，4，6，8，12，24；个数正是8个。　　§2约数和函数　　定义设，，则称的正约数和为函数。　　定理2自然数的正约数和函数（其中为的素数，）。　　略证注意到（）　　　　　　　　　　　　　　，　　展开后，其项数恰为的约数个数　　　　，　　又每项皆形如，　　可见每项皆自然数的约数且每个约数只出现一

3、次，由此可见该积即，于是有　　　　　　　　　　　　例2.求780的正约数和。　　解：　　定理3若、是互质的自然数，即(a，b)=1，则　　　　　　证明：设，，　　　∵，故与各不相同（i=1，2，…，j=1，2，…，m）　　　§3.欧拉函数　　定义设互素且不大于的自然数的个数(),称为欧拉函数。　　如，易证是素数（∵每个小于的自然数都与它互素）；反之可见，若是合数，必有。　　关于欧拉函数，有以下性质定理　　定理４设P是素数，且则　　证明∵P是素数，显然有与互素的充要条件是，即有：，反之若，且知在1和之间，有以下个数是p的倍数：　　　　，而其余的数都与互素，从而可知不超过且与互素的自然数

4、个数。　　当自然数的素因数分解式中，不只包含一个素因数时，有　　定理5设大于1的自然数的素因数分解式为　　　　，　　其中则有　　　　　　证明：因为素因数的个数，故考虑采用数学归纳法（下设表有k个素因数的自然数）。　　（i）当；　　（ii）设；　　注意到加入第个k+1素因数后，有　　　　，　　且当　　于是由归纳假设就有　　　　从而时，定理成立；　　综上，对任意（★的补证：引理设、、c∈N，则(i)若则　　　　,　　　　从而　　　　可见　　　　故　　　　同理可证（ii）若，则存在素因数，由　　　　　　　　同理，若　　　　再证定理若，则　　　　（★★）　　注意到，故中有一个数为1时，（★★

5、）显然成立，现假设并把从1到的自然数排成长方阵：12……r……mm+1m+2……m+r……2m2m+12m+2……2m+r……3m……(n-1)m+1(n-1)m+2……(n-1)m+rnm则为上面这组数中与互素的自然数的个数，由引理知它等于这组数中同时与都互素的自然数个数。　　注意到(km+r，m)=(r，m)，　　所以当时，第列中的每一个数都与互素，从而这列数中共有列数与互素。　　下面再证这列的每列数中，恰好有个自然数与互素，这样就能证明共有·个数，既与互素，也与互素，即定理为真。　　事实上，从第列看，∵，　　∴这列中的个数中，任意两个数被除时，所得余数都不会相同。　　（若不然，

6、设除同余，则　　　　，　　其中，于是有　　因题设）　　可见这第列中的个数被除的余数分别是0，1，2，3，…，（-1）（不计顺序），而这个数中与互素的自然数个数正是，即第列中存在个与互素的数。　　这就证明了。　　例3求与300互素且不超过300的自然数的个数。　　解所求的数即　　　　　　　　　　　　★★★例4.试判断是否存在自然数，使解设）　　则　　　　　即　　这里应估计到中必有一个是奇数（否则若它们全是偶数，则，于是　　　　　　但必是2的倍数，但它不等于14，（否则，只有，且，不妨令（★★★）　　而7是素数，★★★式中也是素数，因而不可能成立！），于是只能是　　　　　　　　　　　　　

7、　因此也不是成立的！　　综上知，不存在。　　例5.试证：　　　　证明：　　（i）当是奇数时，，注意到，于是　　（ii）当是偶数时，不妨设　　　　　　　综i,ii，原命题成立。　　例6.证明的值或者是1或者是偶数，其中。　　证明：（i）当=1，2时，（）=1；　　　　（ii）当>2时，若则　　　　是偶数；　　若，于是　　　　　　【能力训练】　　1．证明自然数的所有正约数的欧拉函数值的和为（即）　　2．设。　　3．记不大于自然数而与互素的数（共，求证。　　参考