高中数学奥赛辅导系列 函数的基本性质（2）教案

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1、函数的基本性质（二）基础知识：函数的周期性如果函数y＝f（x）对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f（x＋T）＝f（x）恒成立，则称函数f（x）是周期函数，T是它的一个周期．一般情况下，如果T是函数f（x）的周期，则kT（k∈N＋）也是f（x）的周期．例题：1．已知函数f（x）对任意实数x，都有f（x＋m）＝－f（x），求证：2m是f（x）的一个周期．证明：因为f（x＋m）＝－f（x）所以，f（x＋2m）＝f[（x＋m）＋m]＝－f（x＋m）＝f（x）所以f（x）是以2m为周期的周期函

2、数．2．已知函数f（x）对任意实数x，都有f（x＋m）＝f（x－m），求证：2m是f（x）的一个周期．证明：因为f（x＋m）＝f（x－m）令x－m＝t，则x＋m＝t＋2m于是f（t＋2m）＝f（t）对于t∈R恒成立，所以f（x）是以2m为周期的周期函数．3．已知函数f（x）对任意实数x，都有f（x＋m）＝，求证：2m是f（x）的一个周期．证明：由已知f（x＋2m）＝f[（x＋m）＋m]＝f（x）所以f（x）是以2m为周期的周期函数．4．已知函数f（x）对任意实数x，都有f（x＋m）＝－，求证：4m是f

3、（x）的一个周期．证明：由已知f（x＋2m）＝f　[（x＋m）＋m]于是f（x＋4m）＝－＝f（x）所以f（x）是以4m为周期的周期函数．1．已知函数f（x）对任意实数x，都有f（a＋x）＝f（a－x）且f（b＋x）＝f（b－x），求证：2

4、a－b

5、是f（x）的一个周期．（a≠b）证明：不妨设a＞b于是f（x＋2（a－b））＝f（a＋（x＋a－2b））＝f（a－（x＋a－2b））＝f（2b－x）＝f（b－（x－b））＝f（b＋（x－b））＝f（x）∴2（a－b）是f（x）的一个周期当a＜b时同理可得所

6、以，2

7、a－b

8、是f（x）的周期2．已知函数f（x）的定义域为N，且对任意正整数x，都有f（x）＝f（x－1）＋f（x＋1）若f（0）＝2004，求f（2004）解：因为f（x）＝f（x－1）＋f（x＋1）所以f（x＋1）＝f（x）＋f（x＋2）两式相加得0＝f（x－1）＋f（x＋2）即：f（x＋3）＝－f（x）∴f（x＋6）＝f（x）f（x）是以6为周期的周期函数2004＝6×334∴f（2004）＝f（0）＝20043．已知对于任意a，b∈R，有f（a＋b）＋f（a－b）＝2f（a）f（b），且f

9、（x）≠0⑴求证：f（x）是偶函数；⑵若存在正整数m使得f（m）＝0，求满足f（x＋T）＝f（x）的一个T值（T≠0）⑴证明：令a＝b＝0得，f（0）＝1（f（0）＝0舍去）又令a＝0，得f（b）＝f（－b），即f（x）＝f（－x）所以，f（x）为偶函数⑵令a＝x＋m，b＝m得f（x＋2m）＋f（x）＝2f（x＋m）f（m）＝0所以f（x＋2m）＝－f（x）于是f（x＋4m）＝f[（x＋2m）＋2m]＝－f（x＋2m）＝f（x）即T＝4m（周期函数）1．数列{an}中，a1＝a，a2＝b，且an＋2＝

10、an＋1－an（n∈N＋）①求a100；②求S100．解：由已知a1＝a，a2＝b，所以a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b，a7＝a，a8＝b，……由此可知，{an}是以6为周期的周期数列，于是a100＝a6×16＋4＝a4＝－a又注意到a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0S100＝a1＋a2＋a3＋……＋a96＋a97＋a98＋a99＋a100＝0＋a97＋a98＋a99＋a100＝a1＋a2＋a3＋a4＝a＋b＋（b－a）＋（－a）＝2b－a2．对每一个实数对x，y，函数f（t）

11、满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋xy＋1，若f（－2）=－2，试求满足f（a）＝a的所有整数a．解：令x＝y＝0，得f（0）＝－1再令x＝y＝－1，得f（－2）＝2f（－1）＋2，又f（－2）＝－2所以f（－1）＝－2又令x＝1，y＝－1，可得f（1）＝1令x＝y＝1得f（2）＝2f（1）＋1＋1＝4令y＝1，得f（x＋1）＝f（x）＋x＋2即f（x＋1）－f（x）＝x＋2①当x取任意正整数时，f（x＋1）－f（x）＞0又f（1）＝1＞0所以f（x）＞0于是f（x＋1）＝f（x）＋x＋2＞x＋1

12、即对任意大于1的正整数t，f（t）＞t在①中，令x＝－3，得f（－3）＝－1，进一步可得f（－4）＝1注意到f（x）－f（x＋1）＝－（x＋2）所以当x≤－4时，f（x）－f（x＋1）＞0即f（x）＞f（x＋1）＞f（x＋2）＞……＞f（－4）＝1所以x≤－4时，f（x）＞x综上所述，满足f（a）＝a的整数只有a＝1或a＝－23．设f（x）是一个从实数集R到R的一个映射，对于任意的实数x，都有

13、f（x）

14、≤1，并且f（x）+，求证：f（x）是周期函数．证