高二数学 排列 组合 和概率 二项式定理同步教案 新人教a版

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1、高二数学（第29讲）【教学内容】第十章排列组合和概率二项式定理要求：（1）了解二项式、二项展开式、二项式系数等基本概念；理解和掌握二项式定理，掌握二项展开式的通项公式及其应用，会利用“杨辉三角”展开二项式。（2）理解和掌握二项式系数的性质，能够运用二项式宣中蕴含的数学思想，计算和证明一些简单的问题。【知识提要】(一)重要概念1、二项式定理二项式系数（，r=0,1,2……n）二项展开式二项展开式的通项2、二项展开式中（1）各项的二项式系数之和（2）展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和：（二）学习提示1、二项式定理实际上是二项式的n次方公式，是初中所学公式(a+b)2=a2+

2、2ab+b2的一般情况。使用二项式定理时，a、b可以为任何数、式，包括在高三时将要学到的复数。2、二项展开式的通项表示(a+b)n展开式中的第项r+1项。应用时应注意结构上的统一。如要求“(1+x)10展开式中第4项”。即T4（不是T4+1，切记）。则“”将T4写成T3+1的好处是求得公式结构上的统一，也提醒解题时，不要把T4中的二项式系数写成。3、关于公式的证明。课本采用了“赋值法”，这是一个常用的方法。我们对式子(a+b)n中的a，b赋以值1,-1,……，可以求得展开式中的系数和，奇数项、偶次项系数和参见例5也可以构造一个问题（情景）来解决。记集合A={1,2,3,……,n}是一个n元集合

3、，它的r元子集(r=0,1,2,…n)有个（空集有个，1元素有个，以此类推），则它的所有子集共有个。另一方面，从元素的角度考虑：元素“1”可以“选择进入”或“选择不进入”A的子集，同理，每个元素都和元素“1”一样，有2种选择方式，这样，可以求得A的子集个数为个。n个【典型例题分析】例1、求(1-2x)7展开式中第4项的二项式系数、系数。分析：先求出T4解：T4=T3+1=∴二项式系数为=35系数为=-280回顾：注意“系数”与“二项式系数”是不同的概念，在二项展开式中不论a、b的取值如何，第r+1项(Tr+1)的二项式系数总是。例2、（1）求(2x+1)8展开式中含x3的项。（2）求的展开式中

4、含x3的项（3）求展开式中含x4的项（1）分析与解：(2x+1)8=(2x+1)(2x+1)(2x+1)(2x+1)(2x+1)(2x+1)(2x+1)(2x+1)按多项式乘法公式，展开式的每一项都是形如(2x)m1n的8次齐次式（其中m+n=8）。要出现x3，只要有3个因式选用“2x”其余5个选用“1”参与运算即可。∴所求的项为。（2）分析与解：（法一）本题无法直接象上题那样求解，可考虑用通项公式Tr+1=，令9-2r=3，从而得r=3，即T4=。（法二）要求展开式中的x3项即求分子展开式中的x12项，即T=（3）分析与解：（法一）直接求解：含x4项为（法二）其中展开式的通项为展开式的通项为

5、要使积为x4项，则4-r+4-k=4∴k+r=4∴x4项为==x4回顾：1、选题目的，遇到三项式或多项式的n次展开，要求其中某一项的，如“求(x+y+z)8展开式中的x2y3z3项”，可采用直接求解法，（结果为）。具体思路参见题（1）的解法或课本P105。2、若要求将(x+y+z)8展开，可考虑用两次二项式定理：如(x+y+z)8将(y+z)看作一项。展开后再将(y+z)r展开。发展题：1、求(x+y+z)8展开后的项数。（答案45项）2、求展开式中的常数项（-51）（略解）常数项即为例3、已知的展开式中，前3项的系数成等差数列，求展开式中的各有理项。分析：先应解出n，再利用二项展开式的通项，

6、求有理项。（整式与分式都为有理式）解：，系数为1，系数为，系数为由T1，T2，T3的系数成等差数列∴∴n2-9n+8=0得n=8（n=1舍去，至少有3项，∴n≥2）设第r+1项为有理项，则有则必为整数∴r被4整除，∴r=0,4,8∴这个展开式的有理项分别为回顾：本题考查通项的应用，在解二项式定理有关问题时，通项是最基本的手段。例4、求的展开式中含有项的系数。解：（法一）原式=要求展开式中x2的系数即求分子上x3项的系数，即为（法二）原式中，从第2项起展开后含有x2项，其系数依次为则x2项的系数为回顾：本题考查的是组合数性质的应用。二项式定理涉及许多组合数，应注意前后知识点的联系。法一是用到的等

7、比数列前n项和公式。例5、（1）已知，则=（2）若，则=（3）多项式展开式中，x的偶次项系数之和为解：（1）令x=-1，则又∵a0=16=1∴=728（2）（3）设=a0+a1x+a2x2+…+a2001x2001则a0-a1+a2-a3+a0+a1+a2+a3+则偶次项系数之和回顾：本例题赋值法的一个应用，令x=1或-1可以区分开含x的奇次项、偶次项的系数和。注意“赋值法”是用来计算二项式系数或