高考数学一轮复习 2.8 对数与对数函数教案

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1、2.8对数与对数函数●知识梳理1.对数（1）对数的定义：如果ab=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.（2）指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①loga（MN）=logaM+logaN.②loga=logaM－logaN.③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN=（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞

2、0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.（2）对数函数的图象底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.（3）对数函数的性质:①定义域：（0，+∞）.②值域：R.③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.●点击双基1.（2005年春季北京，2）函数f（x）=

3、log2x

4、的图象是解析：f（x）=答案：A2.（2004年春季北京）若f

5、－1（x）为函数f（x）=lg（x+1）的反函数，则f－1（x）的值域为___________________.解析：f－1（x）的值域为f（x）=lg（x+1）的定义域.由f（x）=lg（x+1）的定义域为（－1，+∞），∴f－1（x）的值域为（－1，+∞）.答案：（－1，+∞）3.已知f（x）的定义域为［0，1］，则函数y=f［log（3－x）］的定义域是__________.解析：由0≤log（3－x）≤1log1≤log（3－x）≤log≤3－x≤12≤x≤.答案：［2，］4.若logx=z，则

6、x、y、z之间满足A.y7=xzB.y=x7zC.y=7xzD.y=zx解析：由logx=zxz=x7z=y，即y=x7z.答案：B5.已知1＜m＜n，令a=（lognm）2，b=lognm2，c=logn（lognm），则A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.c＜a＜b解析：∵1＜m＜n，∴0＜lognm＜1.∴logn（lognm）＜0.答案：D●典例剖析【例1】已知函数f（x）=则f（2+log23）的值为A.B.C.D.剖析：∵3＜2+log23＜4，3+log23＞4，∴f（2+log

7、23）=f（3+log23）=（）3+log23=.答案：D【例2】求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.解：∵｜x｜＞0，∴函数的定义域是｛x｜x∈R且x≠0｝.显然y＝log2｜x｜是偶函数，它的图象关于y轴对称.又知当x＞0时，y＝log2｜x｜y＝log2x.故可画出y＝log2｜x｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.评述：研究函数的性质时，利用图象更直观.深化拓展已知y=log［a2x+2（ab）x－b2x+1］（a、b∈

8、R+），如何求使y为负值的x的取值范围?提示：要使y＜0，必须a2x+2（ab）x－b2x+1＞1，即a2x+2（ab）x－b2x＞0.∵b2x＞0，∴（）2x+2（）x－1＞0.∴（）x＞－1或（）x＜－－1（舍去）.再分＞1，=1，＜1三种情况进行讨论.答案：a＞b＞0时，x＞log（－1）；a=b＞0时，x∈R；0＜a＜b时，x＜log（－1）.【例3】已知f（x）=log［3－（x－1）2］，求f（x）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x－1）2≤3，∴log［3－（x－1）2］≥log3=－1

9、，即f（x）的值域是［－1，+∞）.又3－（x－1）2＞0，得1－＜x＜1+，∴x∈（1－，1］时，3－（x－1）2单调递增，从而f（x）单调递减；x∈［1，1+）时，f（x）单调递增.特别提示讨论复合函数的单调性要注意定义域.●闯关训练夯实基础1.（2004年天津，5）若函数f（x）=logax（0＜a＜1）在区间［a，2a］上的最大值是最小值的3倍，则a等于A.B.C.D.解析：∵0＜a＜1，∴f（x）=logax是减函数.∴logaa=3·loga2a.∴loga2a=.∴1+loga2=.∴lo

10、ga2=－.∴a=.答案：A2.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于A.B.－C.2D.－2解析：y=log2

11、ax－1

12、=log2

13、a（x－）

14、，对称轴为x=，由=－2得a=－.答案：B评述：此题还可用特殊值法解决，如利用f（0）=f（－4），可得0=log2

15、－4a－1

16、.∴

17、4a+1

18、=1.∴4a+1=1或4a+1=－1.∵a≠0，∴a=－.3.（2004年湖南，理3）设f－1（x）是f（x）=lo