高考数学竞赛 平面几何教案讲义（16）

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1、第十六章平面几何一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，则梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若则三点共线。塞瓦定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线平行或共点，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m塞瓦定理的逆定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。角元形式的塞瓦定理分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共点的充要条件是广义托勒密定理设ABCD为任意凸四边形，则AB•CD+BC•AD≥AC•BD，当且仅当A，B，

2、C，D四点共圆时取等号。斯特瓦特定理设P为ΔABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有AP2=AB2•+AC2•-BP•PC.西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。蒙日定理三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且二、方法与例题1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条

3、件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。例1在ΔABC中，∠ABC=700，∠ACB=300，P，Q为ΔABC内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求证：A，P，Q三点共线。2面积法。例2◇ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，且BE=DF，BE交DF于P，求证：AP为∠BPD的平分线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m3．几何变换。例3（蝴蝶定理）AB是⊙O的一条弦，M为AB中点，CD，EF为过M的任意弦，CF，DE分别交AB于P，Q。求证：PM=MQ。例4平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为19

4、95，而且每个三角形三个顶点同色。4．三角法。例5设AD，BE与CF为ΔABC的内角平分线，D，E，F在ΔABC的边上，如果∠EDF=900，求∠BAC的所有可能的值。5．向量法。例6设P是ΔABC所在平面上的一点，G是ΔABC的重心，求证：PA+PB+PC>3PG.6．解析法。例7H是ΔABC的垂心，P是任意一点，HLPA，交PA于L，交BC于X，HMPB，交PB于M，交CA于Y，HNPC交PC于N，交AB于Z，求证：X，Y，Z三点共线。7．四点共圆。例8直线l与⊙O相离，P为l上任意一点，PA，PB为圆的两条切线，A，B为切点，求证：直线AB过定点。三、习题精选1．⊙O1和⊙O2

5、分别是ΔABC的边AB，AC上的旁切圆，⊙O1与CB，CA的延长线切于E，G，⊙O2与BC，BA的延长线切于F，H，直线EG与FH交于点P，求证：PABC。2．设⊙O的外切四边形ABCD的对角线AC，BD的中点分别为E，F，求证：E，O，F三点共线。3．已知两小圆⊙O1与⊙O2相外切且都与大圆⊙O相内切，AB是⊙O1与⊙O2的一条外公切线，A，B在⊙O上，CD是⊙O1与⊙O2的内公切线，⊙O1与⊙O2相切于点P，且P，C在直线AB的同一侧，求证：P是ΔABC的内心。4．ΔABC内有两点M，N，使得∠MAB=∠NAC且∠MBA=∠NBC，求证：5．ΔABC中，O为外心，三条高AD，BE

6、，CF相交于点H，直线ED和AB相交于点M，直线FD和AC相交于点N，求证：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN。6．设点I，H分别是锐角ΔABC的内心和垂心，点B1，C1分别是边AC，AB的中点，已知射线B1I交边AB于点B2(B2≠B)，射线C1I交AC的延长线于点C2，B2C2与BC相交于点K，A1为ΔBHC的外心。试证：A，I，A1三点共线的充要条件是ΔBKB2和ΔCKC2的面积相等。7．已知点A1，B1，C1，点A2，B2，C2，分别在直线l1,l2上，B2C1交B1C2于点M，C1A2交A1C2于点N，B1A2交B2A1于L。求证：M，N，L三点共线。8．ΔABC中，

7、∠C=900，∠A=300，BC=1，求ΔABC的内接三角形（三个顶点分别在三条边上的三角形）的最长边的最小值。9．ΔABC的垂心为H，外心为O，外接圆半径为R，顶点A，B，C关于对边BC，CA，AB的对称点分别为，求证：三点共线的充要条件是OH=2R。