高中数学竞赛讲义(16)平面几何

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1、高中数学竞赛讲义（十六）──平面几何一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理 设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，则梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若则三点共线。塞瓦定理 设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线平行或共点，则塞瓦定理的逆定理 设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。角元形式的塞瓦定理 分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共点的充要条件是广义托勒密定理 设ABCD为任意凸四边形，则AB?CD

2、+BC?AD≥AC?BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。斯特瓦特定理 设P为ΔABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有8AP2=AB2?+AC2?-BP?PC.西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定

3、理 ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且二、方法与例题1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。例1 在ΔABC中，∠ABC=700，∠ACB=300，P，Q为ΔABC内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求证：A，P，Q三点共线。[证明] 设直线CP交AQ于P1，直线BP交AQ于P2，因为∠ACP=∠PCQ=100，所以，①在ΔABP，ΔBPQ，ΔABC中由正弦定理有，②，③④8由②，③，④得。又因为P1，P2同在线段AQ上，所以P1，P2重合，又BP与C

4、P仅有一个交点，所以P1，P2即为P，所以A，P，Q共线。2．面积法。例2 见图16-1，◇ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，且BE=DF，BE交DF于P，求证：AP为∠BPD的平分线。[证明] 设A点到BE，DF距离分别为h1,h2，则又因为S◇ABCD=SΔADF，又BE=DF。所以h1=h2，所以PA为∠BPD的平分线。3．几何变换。例3 （蝴蝶定理）见图16-2，AB是⊙O的一条弦，M为AB中点，CD，EF为过M的任意弦，CF，DE分别交AB于P，Q。求证：PM=MQ。[证明] 由题设OMAB。不妨设。作D关于直线OM的

5、对称点。连结，则要证PM=MQ，只需证，又∠MDQ=∠PFM，所以只需证F，P，M，共圆。因为∠=1800-=1800-∠=1800-∠。（因为OM。AB//）所以F，P，M，四点共圆。所以Δ≌ΔMDQ。所以MP=MQ。8例4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为1995，而且每个三角形三个顶点同色。[证明] 在平面上作两个同心圆，半径分别为1和1995，因为小圆上每一点都染以红、蓝两色之一，所以小圆上必有五个点同色，设此五点为A，B，C，D，E，过这两点作半径并将半径延长分别交大圆于A1，

6、B1，C1，D1，E1，由抽屉原理知这五点中必有三点同色，不妨设为A1，B1，C1，则ΔABC与ΔA1B1C1都是顶点同色的三角形，且相似比为1995。4．三角法。例5 设AD，BE与CF为ΔABC的内角平分线，D，E，F在ΔABC的边上，如果∠EDF=900，求∠BAC的所有可能的值。[解] 见图16-3，记∠ADE=α，∠EDC=β，由题设∠FDA=-α，∠BDF=-β，由正弦定理：，得，又由角平分线定理有，又，所以，8化简得，同理，即所以，所以sinβcosα-cosβsinα=sin(β-α)=0.又-π<β-α<π,所以β=α

7、。所以，所以A=π。5．向量法。例6 设P是ΔABC所在平面上的一点，G是ΔABC的重心，求证：PA+PB+PC>3PG.[证明] 因为，又G为ΔABC重心，所以（事实上设AG交BC于E，则，所以）所以，所以又因为不全共线，上式“=”不能成立，所以PA+PB+PC>3PG。6．解析法。例7 H是ΔABC的垂心，P是任意一点，HLPA，交PA于L，交BC于X，HMPB，交PB于M，交CA于Y，HNPC交PC于N，交AB于Z，求证：X，Y，Z三点共线。[解] 以H为原点，取不与条件中任何直线垂直的两条直线为x轴和y轴，建立直角坐标系，用(x

8、k,yk8)表示点k对应的坐标，则直线PA的斜率为，直线HL斜率为，直线HL的方程为x(xP-xA)+y(yP-yA)=0.又直线HA的斜率为，所以直线BC的斜率为，直线BC的方程为xxA+yyA=xAxB