高中数学竞赛讲义-高斯函数

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1、高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家§28高斯函数数论函数，称为高斯函数，又称取整函数.它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数是不超过的最大整数，称为的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数由、的定义不难得到如下性质：（1）的定义域为R，值域为Z；的定义域为R，值域为（2）对任意实数，都有.（3）对任意实数，都有.（4）是不减函数，即若则，其图像如图I－4－5－1；是以1为周期的周期函数，如图I－4－5－2.图Ⅰ—4—5—1图Ⅰ—4—5—2（5）.其中.（6）；特别地，（7），其中；一般有；特别地，.（8）

2、，其中.-7-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家例题讲解1．求证：其中k为某一自然数.2．对任意的3．计算和式4．设M为一正整数，问方程，在[1，M]中有多少个解？5．求方程-7-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家6．7．对自然数n及一切自然数x，求证：.8．求出的个位数字-7-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家例题答案：1．证明：2为质数，n!中含2

3、的方次数为若故反之，若n不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2sp，其中p>1为奇数，这时总可以找出整数t，使由于n!.这与已知矛盾，故必要性得证.2．解：因对一切k=0,1,…成立，因此，又因为n为固定数，当k适当大时,3．解：显然有：若503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502,都不会是整数，但+可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[]+故4．解：显然x=M是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解.设x是方程的解.将代入原方程，化简得所以上式成立的充要条件是2[x]{x}为一个整数.-7-www.

4、ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家5．解：经检验知，这四个值都是原方程的解.6．这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下.【证明】由于-7-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家7．解：M＝

5、f(x)

6、max＝max{

7、f⑴

8、，

9、f(－1)

10、，

11、f(－)

12、}⑴若

13、－

14、≥1(对称轴不在定义域内部)则M＝max{

15、f⑴

16、，

17、f(－1)

18、}而f⑴＝1＋a＋bf(－1)＝1－a＋b

19、f⑴

20、＋

21、f(－1)

22、≥

23、f⑴＋f(

24、－1)

25、＝2

26、a

27、≥4则

28、f⑴

29、和

30、f(－1)

31、中至少有一个不小于2∴M≥2＞⑵

32、－

33、＜1M＝max{

34、f⑴

35、，

36、f(－1)

37、，

38、f(－)

39、}＝max{

40、1＋a＋b

41、，

42、1－a＋b

43、，

44、－＋b

45、}＝max{

46、1＋a＋b

47、，

48、1－a＋b

49、，

50、－＋b

51、，

52、－＋b

53、}≥(

54、1＋a＋b

55、＋

56、1－a＋b

57、＋

58、－＋b

59、＋

60、－＋b

61、)≥[(1＋a＋b)＋(1－a＋b)－(－＋b)－(－＋b)]＝≥综上所述，原命题正确.8．先找出的整数部分与分数部分.-7-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.com）您

62、身边的高考专家-7-www.ks5u.com版权所有@高考资源网