高二数学竞赛二试讲义 高斯函数 .doc

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1、高二数学竞赛班二试讲义数论第1讲高斯函数（取整函数）班级姓名一、知识点金1．有关概念对于任意实数，为不超过的最大整数，称为取整函数或叫高斯函数，并将称为小数部分函数，表示的小数部分。2．重要性质（1）的定义域为，值域为；（2）如果，则有；（3）对任意，有，；（4）当时，有，即是不减函数；（5）对于，有；（6）如果，，则；（7）如果，，则。性质的证明（1）（2）（3）（4）略（5）分析：，或（6）分析：、（7）分析：3．常用方法（1）定义法（2）讨论法（3）分组法（4）去整法（5）构造法二、例题分析例1．（1995年全国联赛题）求方程的实数根个数。例2．（1），且至之间的整数中，有个是的倍数。（

2、2）在中，质数的最高方次数是。（3）为实数，为正整数，求证：。例3．若实数满足，求的值。例4．求的值。例5．设表示不超过实数的最大整数，求集合的元素个数。三、同步检测1．的值为．2．（2011年高中数学联赛）已知，则数列中整数项的个数为．3．求使成立的正整数。4．计算和式的值。5．设为实数，为正整数，求证：（美国中学生数学竞赛题）高二数学竞赛二试讲义第1讲高斯函数（取整函数）答案二、例题分析例1．因为，所以，解得。（1）当时，，代入原方程得，得。（2）当时，，代入原方程得，不符合。（3）当时，，代入原方程得，得。（3）当时，，代入原方程得，得。综上所述，原方程有三个实数根。例2．（1），且至之

3、间的整数中，是的倍数的数是共个。（2）由于是质数，因此在中，质数的最高方次数是一定是个数中所含的方次数的总和。由（1）知，中有个的倍数，有个的倍数，…，所以。（3）设，则所以函数是以为周期的周期函数，令，得，所以，又由周期性，得。评注：等式（3）为厄尔密特等式。利用厄尔密特等式可解其他较复杂的高斯函数问题。例：对任意实数，等式成立。分析：在厄尔密特等式中令，有，再令，可得等式，，易知当时，例3．左边每一项为或，注意到，所以。左边共项，设，，则，所以，所以，即，，即，所以，所以。例4．当时，，而，所以，，所以。例5．由，，即当时，或。因为，，所以当时，能取遍。另外，当时，由于，故，即各不相同，这

4、些数有个。注意到，就知集合共有个元素。三、同步检测1．．解析：时，因为，所以，因此，当依次取，，…时，共取了的值，故所求的和为。2．解：要使为整数，必有均为整数，从而，当时，均为非负整数，所以为整数，共有14个。当时，，在中，中因数的个数为，中因数的个数为，中因数的个数为，所以中因数的个数为，故是整数。当时，，在中，中因数的个数为，中因数的个数为，中因数的个数为，所以中因数的个数为，故不是整数。因此，整数项的个数为个3．当时，，4．当时，，而，所以，，所以。