上海重点中学2010学年第一学期期中考试高三数学试卷(理科答案)

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1、上海重点中学2010学年第一学期期中考试高三数学试卷（理科）考生注意：本试卷共有20道试题，满分150分，考试时间120分钟一.填空题（本大题满分40分）本大题共有10题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.若，则正整数的值为______10____.2.函数的反函数是．3.记的展开式中第m项的系数为，若，则的值为_____5_____.4.方程的解集为.5.在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为．则tan()的值为_______.6.已知函数，若

2、存在使成立，则实数的取值范围是____________________.7.不等式的解集是_____________________.8.已知函数，则当时，自变量的取值范围是___________________.9.已知函数，若关于x的方程在区间上有实数解，则实数a的取值范围是_______________.10.设是定义在上的奇函数，且对于任意的，恒成立，当时，.若方程恰好有5个不同的解，则实数7的取值范围是_______________.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

3、11．若，则M，N两个集合的关系是（D）A．B．＝ΦC．D．12．“成立”是“成立”的（A）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件13.在中，分别是角的对边，且，则是（B）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形14.已知二次函数（其中）的图像如下面右图所示，则函数的图像是(A)f(x)三.解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．15．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知集合，集合，集合．（1

4、）求A∪B；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）或，……………………2分=……………………4分所以A∪B=．……………………6分（2）因为，所以，………………………10分7因此实数a的取值范围是．………………………12分16.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.在中，．（1）求角C；（2）求的面积．解：（1）由，，得，所以…………4分因为，…6分又，故…………8分（2）根据正弦定理得，…………11分所以的面积为…………14分17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.已知函数．（1）求函数的最小

5、正周期及最值；（2）令，判断函数的奇偶性，并加以证明．解：（1）．…4分的最小正周期．………………6分当时，取得最小值；当时，取得最大值2．………………8分7（2）由（1）知．又．．………………11分．………………13分函数是偶函数．………………14分18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分5分.现建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）要最小.（1）求外周长的最小值，此时防洪

6、堤高h为多少？（2）如防洪堤的高限制在范围内，则外周长的最小应为多少米？【解】（1）依题意有，所以………3分所以………6分当，即时等号成立.所以外围的周长的最小值为米，此时堤高米.------------9分（2）由（1）知，因为函数在递增．………………11分所以当时，（米）……13分故外周长最小应为米.……14分719.（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分8分.请认真阅读并思考以下五个命题：①若函数的图像与其反函数的图像存在公共点，则该公共点必在直线上.②函数是奇函数的充要条件是.③若定义在R上的函数满足和，则函数一定是偶函数.④已

7、知函数在上是增函数，若，且，则.⑤设函数的图像关于直线对称，则函数在区间上是减函数.（1）请你将五个命题中真命题的序号全部选择出来，并选择其中一个加以证明；（2）请你将五个命题中假命题的序号全部选择出来，并选择其中一个加以证明.解：（1）真命题的序号是③④⑤.……3分③的证明：由得，∴.又由得，∴，∴函数是偶函数.故命题③是真命题.④的证明：因为在R上是增函数，且，所以.同向相加得.故命题④是真命题.⑤的证明：由得.依题意知，函数与其反函数是同一函数，∴.∴.设，∴函数在上是减函数.故命题⑤是真命题.……10分7（2）假命题的序号是①②.……12分①的证明：取，