线性代数b模拟试卷及答案

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1、《线性代数B》模拟试卷一参考答案一、选择题1、行列式的值为（）（A）（B）（C）（D）解：因为，选（D）2、（）（A）（B）（C）（D）均不对解：因为所以，选（C）3、矩阵的秩为（）（A）（B）（C）（D）解：因为所以其秩为2。4、已知非齐次线性方程组的三个解为，则下列哪个仍是的解为（）（A）（B）（C）（D）解：利用结论：若是非齐次线性方程组的解，则当是仍然是的解。故选（B）。5、下列关于矩阵的秩的说法正确的是（）（A）秩为的矩阵中一定有不等于的阶子式；（B）秩为的矩阵中一定没有不等于的阶子式；（C）秩为的矩阵中一定没有等于的阶子式；

2、（D）秩为的矩阵中一定有不等于的阶子式提示：根据矩阵的秩的定义，选（A）。二、填空题1、解：422、设3元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，是它的两个不同的解向量，则该方程组的通解为或者解：根据非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组的解之间的关系得，所求通解为：或者，其中。3、设，则中的系数为将行列式中的各行各列化为只有一项含有，再将这些含的项移到主对角线上即可求出的系数，所以的系数为因为.4、向量组的秩为解：因为所以该向量组的秩为3.5、已知3阶方阵的三个特征值为，则解：因为3阶方阵的三个特征值为，所以，从而6、二次型是否正定：解

3、：二次型对应的矩阵为，其各阶主子式，，都大于零，故该二次型是正定的。42四、解方程组解：该方程组的增广矩阵为：则，令，得原方程组的通解为：（）五、解矩阵方程：解：因为，，所以与均可逆，故即六、问取何值时，线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时，求出其通解。解法一：原方程组的系数行列式为：（1）当，即且时，原方程组有唯一解；（2）当，即或时，原方程组无解或有无穷多解；当时，原方程组的增广矩阵为：42此时，故当时原方程组无解；当时，原方程组的增广矩阵为：此时，故当时原方程组有无穷多解，且，则令，得原方程组的通解为：（）解法二

4、：原方程组的增广矩阵为：（1）当且时，原方程组有唯一解；（2）当时，因为此时，故当时原方程组无解；（3）当时，因为此时，故当时原方程组有无穷多解，且，则令，得原方程组的通解为：（）七、已知二次型，求一个正交线性变换，将二次型化成标准型，并判断其正定性。42解：二次型对应的矩阵为：因为令，得矩阵的特征值，，（1）求各个特征值对应的正交的特征向量当时，因为，令；当时，因为，令；当时，因为，令；（2）将线性无关的特征向量单位化：，，，令，则为正交阵，且从而为正交变换，将原二次型化为标准型为：。八、证明题设是非齐次线性方程组的一个解，42是对应

5、的齐次线性方程组的基础解系，证明：线性无关。证明：设存在一组数，使得（*）即（**）用矩阵左乘（**）式，得（***）因为是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的基础解系，所以，（），且线性无关代入（***）式，得，因为，所以代入（**）式，得，又线性无关，所以，从而即，故线性无关。模拟试卷二参考答案一、填空题（每空3分，共30分）1．设，，则；；解：，。2．设，则的行列式;方阵的秩为;解：，所以可逆，故3．设向量组：，，，，则的秩为：；的一个最大线性无关向量组为：；42解：因为所以的秩为3，是一个最大无关组。4．设四元非齐

6、次线性方程组的系数矩阵的秩为，已知，，是它的三个解向量，且，，则方程组的通解为：;解：因为，所以的基础解系所含向量个数为：；又，，是的三个解向量，且，，所以是的一个非零解，故为其基础解系；从而的通解为：（）5．设二次型，则二次型对应的矩阵为：；它是（正/负）定二次型。解：二次型对应的矩阵为：，因为该矩阵的各阶主子式为：，42，，故该二次型是负定二次型。６．设非奇异方阵有一个特征值，则矩阵必有一个特征值为：。解：因为，令，非奇异方阵有一个特征值，所以，即的一个特征值为。二、举例说明下列命题是错误的（每小题5分，共10分）1．若，则。解：若

7、，但。2．若有唯一解，则有唯一解。解：如只有零解，但无解。三、计算题（共50分）1．计算行列式。（６分）解法一：解法二：422．设，问是否可逆？若可逆，求其逆阵。（８分）解：因为，所以可逆，令，其中，，则又，，所以3．解矩阵方程。（８分）解：因为，所以424．已知，，，，问(1)，为何值时，不能用线性表示？(2)，为何值时，可由线性表示，且表示式唯一，并写出表达式；(3)．，为何值时，可由线性表示，且表示式不唯一，并写出表达式。解：设……(*)为一个非齐次线性方程组方程组(*)的增广矩阵为：（1）当或时，方程组（*）无解，即不能用线性表

8、示；（2）当且时，方程组（*）有唯一解，即能用线性表示，且表示式唯一；此时，所以，42即（3）当或时，方程组（*）有无穷多解，即能用线性表示，且表示式不唯一；当时，，即，令，得方程组（*）的通解为：（）即（