《线性代数B》模拟试卷六参考答案

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1、《线性代数B》模拟试卷六参考答案一、选择题（每题4分，共24分）1．设，则中的系数为（D）。(A)12；(B)2；(C)-2；(D)-12。解：先将化为各行各列只有一项含有，然后再将这些含的项移到主对角线上即可求出的系数；所以的系数为：-12，选（D）2．关于矩阵的乘法，下列结论正确的是（C）。(A)若且有两列，则有两列；(B)若，则；(C)若和都是矩阵，则和都有意义；(D)若，则或。提示：根据矩阵乘法的性质，选（C）3．设均为阶方阵，则下列等式正确的是（B）。(A)；(B)；(C)；(D)。提示：根据方阵构

2、成的行列式的性质，选（B）。4．关于线性方程组，下列叙述正确的是（A）。(A)如果一个方程组有两个不同的解，则它必然有无穷多解；(B)如果增广矩阵可以通过初等行变换变成行最简形，则方程组有解；第9页(C)含个变量个方程的线性方程组至多只有个不同的解；(D)如果方程组有两个不同的解，则也如此。提示：根据线性方程组是否有解的判定，选（A）。5．下列向量组中，（C）是线性无关的向量组。(A)；(B)；(C)；(D)。提示：利用向量组的线性相关性的判定，可知选项（A）和选项（D）所含向量个数大于向量维数，故线性相关（

3、也可求出其构成的矩阵的秩小于向量个数4）；选项（B），因为，故选项（B）中的向量也线性相关。从而选（C）6．设为阶矩阵，是其伴随方阵，则下列命题不正确的是（B）(A)若可逆，则也可逆；(B)若的秩为，则的秩为；(C)；(D)若可逆，则。提示：因为当时，，故选（B）第9页二、填空题（每空4分，共24分）7．设，则-10；解：8．设，则0；解：因为，而，所以（或者）9．设方阵，则；解：因为为分快对角阵，而，所以10．设，则矩阵的秩为3；第9页解法一：因为，所以解法二：因为所以矩阵可逆，故（可逆矩阵的秩等于其阶数）

4、11．设3阶方阵有特征值，则方阵有特征值0；解：因为，令，因为有特征值，所以是的特征值。12．设，则向量的夹角为。解：因为，所以与正交，故的夹角为。三、计算下列各题（7小题，共52分）13．计算行列式。（6分）解：14．设阶行列式，为的余子式，计算第9页。(6分)解：15．已知，求A的逆矩阵。（6分）解法一：利用公式解法二：利用矩阵的初等变换：或者答案：16．设，，，且，求未知矩阵。（6分）解：因为，，所以矩阵、均可逆，且，，第9页从而17．解方程组（6分）解：原方程组的系数矩阵为：所以原方程组的通解为：18

5、．问取何值时，线性方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多解时求出解。（12分）解法一：用初等行变换把增广矩阵化为行阶梯形矩阵，第9页由此可知：（1）当时，,方程组有唯一解；………6分（2）当时，，方程组无解；………7分（3）当时，，方程组有无穷多个解；………8分将代入矩阵，并利用初等行变换将其化成行简化阶梯形矩阵，………10分即，令，得原方程组的通解为（，）………12分解法二：原方程组的系数行列式为：（1）当，即时，,方程组有唯一解；（2）当，即时，原方程组无解或有无穷多解；第9页

6、此时原方程组的增广矩阵为：当时，，方程组无解；当时，，方程组有无穷多个解；此时，令，得原方程组的通解为（，）19．设，求一正交矩阵，使得，其中为对角阵。（10分）解：　　　………２分令，得特征值，。　　　　　　　　　　　　………３分对，因为，取，则满足，即，取………５分对，因为第9页则对应的线性无关的特征向量可取为：；　　　　　　　………６分将，，单位化，得，，………８分因此，正交矩阵可取为：，　　　　　　　　　　　　………９分对角阵为：。　　　　　　　　　　　　　　　　　………1０分第9页