2018版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的数乘运算学案新人教a版选修2

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1、3.1.2空间向量的数乘运算学习目标1.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.知识点一空间向量的数乘运算思考实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？答案λ>0时，λa和a方向相同；λ<0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的

2、λ

3、倍.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：λ(a＋b)＝

4、λa＋λb，②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.梳理(1)实数与向量的积与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：①

5、λa

6、＝

7、λ

8、

9、a

10、.②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律①λ(μa)＝(λμ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb；③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展).知识点二共线向量与共面向量思考1回顾平面向量中关于向量共线的知识，

11、给出空间中共线向量的定义.答案如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.思考2空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？答案正确.根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量.梳理(1)平行(共线)向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合充要条件对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在实数λ，使a＝λb向量a为直线l的方向向量→→点P在直线l存在实数t满足等式OP＝OA

12、＋ta，上的充要条件→→→→在直线l上取向量AB＝a，则OP＝OA＋tAB(2)共面向量定义平行于同一个平面的向量三个向量共面向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，的充要条件使p＝xa＋yb→→→存在有序实数对(x，y)，使AP＝xAB＋yAC点P位于平面ABC内的充要→→→→对空间任一点O，有OP＝OA＋xAB＋yAC条件类型一向量共线问题→→例1如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E＝2ED1，F在对角线A1C上，→2→且A

13、1F＝FC.3求证：E，F，B三点共线.→→→证明设AB＝a，AD＝b，AA1＝c.→→→2→∵A1E＝2ED1，A1F＝FC，3→2―→→2→∴A1E＝A1D1，A1F＝A1C.35→2→2→2→→2→→→222∴A1E＝AD＝b，A1F＝(AC－AA1)＝(AB＋AD－AA1)＝a＋b－c.33555552→→→2422a－b－c∴EF＝A1F－A1E＝a－b－c＝3.51555→→→→22又EB＝EA1＋A1A＋AB＝－b－c＋a＝a－b－c，33→2→∴EF＝EB.∴E，F，B三点共线.

14、5反思与感悟判定向量a，b(b≠0)共线，只需利用已知条件找到x，使a＝xb即可.证明点共线，只需证明对应的向量共线.跟踪训练1如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量→→→EF与AD＋BC是否共线？解设AC中点为G，连接EG，FG，→1→→1→∴GF＝AD，EG＝BC，22→→→又∵GF，EG，EF共面，→→→1→1→1→→∴EF＝EG＋GF＝BC＋AD＝(AD＋BC)，222→→→∴EF与AD＋BC共线.类型二空间向量的数乘运算及应用→→→例2如图所示，在

15、平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：→→→→(1)AP；(2)A1N；(3)MP＋NC1.→→→→→1→1解(1)AP＝AD1＋D1P＝(AA1＋AD)＋AB＝a＋c＋b.22→→→→→1→1(2)A1N＝A1A＋AN＝－AA1＋AB＋AD＝－a＋b＋c.22→→→→→→→(3)MP＋NC1＝(MA1＋A1D1＋D1P)＋(NC＋CC1)1→→1→1→→＝AA1＋AD＋AB＋AD＋A

16、A12223→3→1→313＝AA1＋AD＋AB＝a＋b＋c.222222引申探究C1P1若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且＝”，其他条件不变，如何表PD12→示AP？→→→→→2→2解AP＝AD1＋D1P＝AA1＋AD＋AB＝a＋c＋b.33反思与感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.跟踪训练2如图，在空