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《2018版高中数学第二章平面向量章末分层突破学案新人教a版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章平面向量[自我校对]①加法②减法③实数与向量的积④向量的数量积⑤垂直⑥平行⑦长度⑧夹角⑨平行⑩垂直⑪合成与分解平面向量的线性运算1.向量的加法、减法和向量数乘的综合运算通常叫作向量的线性运算.2.向量线性运算的结果仍是一个向量.因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面.3.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题.4.题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等. 如图
2、21，在△ABC中，点M是AB边的中点，E是中线CM的中点，AE的延长线交BC于F.MH∥AF交BC于H.求证：＝＝.图21【精彩点拨】 选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出，与即可证得.【规范解答】 设＝a，＝b，则＝a＋b，＝＋＋＝－＋2＋2＝－a－b＋2a＋2b＝a＋b，＝＋＝＋＝－＋＋＝－b＋＋－＝－b＋a＋2－＝－b＋a＋2b－b＝a＋b.综上，得＝＝.[再练一题]1.如图22，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点N在BC上，且BN＝BC，求证：M，N，D三点共线
3、.【导学号：00680063】图22【证明】 设＝e1，＝e2，则＝＝e2.∵＝e2，＝＝e1，∴＝－＝e2－e1.又∵＝－＝e2－e1＝3＝3，∴向量与共线，又M是公共点，故M，N，D三点共线.平面向量的数量积平面向量的数量积是由物理问题中的做功问题引入的，向量数量积的结果是一个数量，根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零.平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以计算向量的夹
4、角和长度. 非零向量a，b满足(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求a，b的夹角的余弦值.【精彩点拨】 →→【规范解答】 由解得所以
5、a
6、
7、b
8、＝－a·b，所以cosθ＝＝－.[再练一题]2.如图23所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.图23【解析】 ∵·＝·(＋)＝·＋·＝·＋·(＋)＝·＋2·.∵AP⊥BD，∴·＝0.∵·＝
9、
10、
11、
12、cos∠BAP＝
13、
14、2，∴·＝2
15、
16、2＝2×9＝18.【答案】 18向量的坐标运算1.向量的坐标表示实
17、际上是向量的代数表示.引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一.2.向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现.3.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题. 已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4).(1)求证：AB⊥AD；(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值.【精彩点拨】 (1)证明·＝0.(2)利用＝求点C的坐标，
18、利用坐标形式的夹角公式求两对角线所夹锐角的余弦值.【自主解答】 (1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴＝(1,1)，＝(－3,3).∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥，即AB⊥AD.(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.设C点坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，∴解得∴点C坐标为(0,5).从而＝(－2,4)，＝(－4,2)，且
19、
20、＝2，
21、
22、＝2，·＝8＋8＝16，设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为.[再练一题]3.设a＝(1,2
23、)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋mb，若c与d的夹角为45°，求实数m的值.【解】 ∵a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，∴c＝2a＋b＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d＝a＋mb＝(1,2)＋m(－2，－3)＝(1－2m,2－3m)，∴c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)＝2－3m.又∵
24、c
25、＝1，
26、d
27、＝，∴cos45°＝＝＝，化简得5m2－8m＋3＝0，解得m＝1或m＝.平面向量的应用1.向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算
28、和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题.2.向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程.3.在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题. 如图24所示，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，四边形PECF是矩形，求证：图24(1)PA＝EF；(2)PA⊥EF.【精彩点拨】 可分别以BC，BA所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系后，
