高中数学 第2章 平面向量章末分层突破学案 苏教版必修.doc

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1、第2章平面向量章末分层突破[自我校对]①坐标②平行四边形③

2、a

3、＝④cosθ＝向量的线性运算向量的线性运算包括向量的加法运算、减法运算及数乘运算，其中平面向量基本定理及向量共线定理是考查的重点，解题时要结合图形灵活构造三角形或平行四边形．　如图21所示，在△ABC中，点M为AB的中点，且＝，与相交于点E，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示.图21【精彩点拨】　先由C，E，M三点共线⇒＝μ＋(1－μ)，由B，E，N三点共线⇒＝λ＋(1－λ)，再由，不共线求λ，μ的值．【规范解答】　∵＝＝b，＝＝a，由N，E，B三点共线知存在实数λ满足＝λ＋(1－λ)＝λb＋(1－

4、λ)a.由C，E，M三点共线知存在实数μ满足＝μ＋(1－μ)＝a＋(1－μ)b.∴解得∴＝a＋b.[再练一题]1．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋2b与2a－4b平行，求实数k的值．【解】　∵ka＋2b＝(k－6,2k＋4)，2a－4b＝(14，－4)，由(ka＋2b)∥(2a－4b)得(k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，解得k＝－1.向量的数量积运算数量积的运算是向量运算的核心，利用向量的数量积可以解决以下问题：1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，平行问题a∥b⇔x1y2－x2y1＝0垂直问题a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝02.

5、求向量的模及夹角问题，(1)设a＝(x，y)，则

6、a

7、2＝x2＋y2或

8、a

9、＝；(2)两向量a，b夹角θ的余弦(0≤θ≤π)，cosθ＝＝.　设向量＝a，＝b，且

10、

11、＝

12、

13、＝4，∠AOB＝60°.(1)求

14、a＋b

15、，

16、a－b

17、；(2)求a＋b与a的夹角θ1，a－b与a的夹角θ2.【精彩点拨】　利用

18、a±b

19、＝求解；利用cosθ＝求夹角．【规范解答】　(1)∵

20、a＋b

21、2＝(a＋b)(a＋b)＝

22、a

23、2＋2a·b＋

24、b

25、2＝16＋2×4×4cos60°＋16＝48，∴

26、a＋b

27、＝4，∴

28、a－b

29、2＝

30、a

31、2－2a·b＋

32、b

33、2＝16，∴

34、a－b

35、＝4.(2)∵(a

36、＋b)·a＝

37、a

38、2＋a·b＝16＋4×4cos60°＝24，∴cosθ1＝＝＝.∵θ∈[0°，180°]，∴θ1＝30°.∵(a－b)·a＝

39、a

40、2－a·b＝16－4×4cos60°＝8，∴cosθ2＝＝＝.∵θ2∈[0°，180°]，∴θ2＝60°.[再练一题]2．已知c＝ma＋nb，c＝(－2，2)，a⊥c，b与c的夹角为，b·c＝－4，

41、a

42、＝2，求实数m，n的值及a与b的夹角．【解】　∵c＝(－2，2)，∴

43、c

44、＝4，又a⊥c，∴a·c＝0.∵b·c＝

45、b

46、

47、c

48、cos＝

49、b

50、×4×＝－4，∴

51、b

52、＝2，又c＝ma＋nb，∴c2＝ma·c＋n·b·c，

53、∴16＝－4n，∴n＝－4.又a·c＝ma2＋na·b，∴0＝8m－4a·b.①又b·c＝ma·b＋n·b2，∴ma·b＝12.②由①②得m＝±，∴a·b＝±2∴cosθ＝＝±，∵θ∈[0，π]∴θ＝或.向量的应用平面向量的应用主要体现在两个方面：一是在平面几何中的应用，向量的加减运算、向量的相等、平行、数乘向量、距离、夹角和向量的数量积之间有密切的联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题；二是在物理学中的应用，主要解决力、位移、速度等问题．　如图22，在等腰直角△ABC中，角C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB，求证

54、：AD⊥CE.图22【精彩点拨】　欲证AD⊥CE，即证·＝0.由于已有·＝0，故考虑选此两向量为基底，从而应用此已知条件．另外，如果进一步考虑到此组基底是垂直关系，还可以建立直角坐标系．【规范解答】　法一：记＝a，＝b，则＝b－a，且a·b＝0，

55、a

56、＝

57、b

58、.因为＝－＝b－a.＝－＝(b－a)＋a＝b＋a，所以·＝·＝b2－a2＝0.可得AD⊥CE.法二：建立如图所示的直角坐标系，不妨设AC＝BC＝2，则C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)，因为D是CB的中点，则D(0,1)．所以＝(－2,1)，＝(－2,2)又＝＋＝＋＝(2,0)＋(－2,2)＝，所以·

59、＝(－2,1)·＝(－2)×＋＝0，因此AD⊥CE.[再练一题]3.如图23，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：图23(1)

60、F1

61、，

62、F2

63、随角θ的变化而变化的情况．(2)当

64、F1

65、≤2

66、G

67、时，θ角的取值范围．(3)当

68、F1

69、＝2

70、F2

71、时，求角θ的值．【解】　(1)由力的平衡原理知，G＋F1＋F2＝0，作向量＝F1，＝F2，＝－G，则＋＝，∴四边形OACB为平行四边形，如图．由已知∠AOC＝θ，∠BOC＝，∴

72、

73、＝，

74、

75、＝

76、

77、＝

78、

79、tanθ.即

80、F1

81、＝，

82、F2

83、＝

84、G

85、tanθ，θ∈.由

86、此可知，当θ从0逐渐增大