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《2016高考数学大一轮复习 9.6双曲线试题 理 苏教版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、【步步高】2016高考数学大一轮复习9.6双曲线试题理苏教版一、填空题1.若双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a=________.解析 ∵b=,∴c=,∴==2,∴a=1.答案 12.若双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为________.解析 焦点(c,0)到渐近线y=x的距离为=b,则由题意知b=2a,又a2+b2=c2,∴5a2=c2,∴离心率e==.答案 3.已知双曲线-=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于________.解
2、析∵右焦点为(3,0),∴c=3,又∵c2=a2+b2=a2+5=9,∴a2=4,a=2,∴e==.答案4.已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则
3、PF1
4、+
5、PF2
6、的值为________.解析设
7、PF1
8、=m,
9、PF2
10、=n,则解得mn=2,∴(m+n)2=m2+n2+2mn=8+4=12,∴m+n=2,即
11、PF1
12、+
13、PF2
14、=2.答案25.设P为直线y=x与双曲线-=1(a>0,b>0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线
15、的离心率e=________.解析∵PF1⊥x轴,∴xP=-c,代入-=1,得yp=±,∵P在y=x上,∴yp=-,∴3b=c,∴9b2=c2,∴9(c2-a2)=c2,∴=,∴=,∴e=.答案6.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为________.解析由已知得解之得∴双曲线方程为-=1.答案-=17.过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上,则双
16、曲线的离心率为________.解析如图所示,不妨设F为右焦点,过F作FP垂直于一条渐近线,垂足为P,过P作PM⊥OF于M.由已知得M为OF的中点,由射影定理知
17、PF
18、2=
19、FM
20、
21、FO
22、,又F(c,0),渐近线方程为bx-ay=0,∴
23、PF
24、==b,∴b2=·c,即2b2=c2=a2+b2,∴a2=b2,∴e===.答案8.设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3PF1=4PF2,则△PF1F2的面积是________.解析 由可解得又由F1F2=10可得△PF1F2是直
25、角三角形,则S△PF1F2=PF1×PF2=24.答案 249.如图,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点,且双曲线过C、D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为________.解析 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).由题意得B(2,0),C(2,3),∴解得∴双曲线的标准方程为x2-=1.答案 x2-=110.过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A、B.若∠AOB=120°(O是坐标原点),则双曲线C的离
26、心率为________.解析 如图,由题知OA⊥AF,OB⊥BF且∠AOB=120°,∴∠AOF=60°,又OA=a,OF=c,∴==cos60°=,∴=2.答案 2二、解答题11.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为2x+y=0,且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程;(2)设P为双曲线上一点,A,B两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、第二象限,若=,求△AOB的面积.解(1)依题意得解得故双曲线的方程为-x2=1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y=±2x,设A(
27、m,2m),B(-n,2n),其中m>0,n>0,由=得点P的坐标为,将点P的坐标代入-x2=1,整理得mn=1,设∠AOB=2θ,则tanθ=,从而sin2θ=,又
28、OA
29、=m,
30、OB
31、=n,∴S△AOB=
32、OA
33、
34、OB
35、sin2θ=2mn=2.12.设中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且F1F2=2,椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4,离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程;(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.解 (1)由已知,得c=,设椭
36、圆长、短半轴长分别为a,b,双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n,则解得a=7,m=3.所以b=6,n=2.故椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则PF1+PF2=14,PF1-PF2=6,所以PF1=10,PF2=4.又F1F2=2,故cos∠F1PF2===.13.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).(1)求双曲线方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证: