八年级数学下册 17.2 一元二次方程的解法(第2课时)导学案 (新版)沪科版

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1、一元二次方程的解法1．一元二次方程的求根公式及推导(1)求根公式的定义一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是x＝.这个式子称为一元二次方程的求根公式．(2)求根公式的推导一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的过程．具体推导过程如下：由于a≠0，在方程两边同除以a，得x2＋x＋＝0.移项，得x2＋x＝－.方程两边同加上()2，得x2＋x＋()2＝－＋()2，即(x＋)2＝.由于4a2＞0，所以当b2－4ac≥0时，可得x＋＝±.所以x＝.(1)配方

2、法是推导求根公式的基础．(2)由于4a2＞0，所以只有当b2－4ac≥0时，式子才是非负常数，方程才能开方．(3)由此可见，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a，b，c确定的，只要确定了系数a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根．【例1】方程3x2－8＝7x化为一般形式是________，其中a＝________，b＝________，c＝________，方程的根为________．解析：将方程移项可化为3x2－7x－8＝0.其中a＝3，b＝－7，c＝－8.因为b2－4ac＝49－4×3×(－8)＝145＞0，

3、代入求根公式可得x＝.答案：3x2－7x－8＝0　3　－7　－8　2．公式法解一元二次方程(1)定义：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．(2)公式法是解一元二次方程的一般方法，对于任何一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出来．(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤：①将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，确定a，b，c的值．②计算b2－4ac的值，从而确定原方程是否有实数根．③若b2－4ac≥0，则把a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式，求出x1，x2；若b2－4ac＜0，则方程没有实数根．(1)此求根公式是

4、指一元二次方程的求根公式，只有确认方程是一元二次方程时，方可使用．(2)“b2－4ac≥0”是一元二次方程求根公式的重要组成部分，是公式成立的前提条件，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．(3)用公式法解一元二次方程时，一定先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值，并注意它们的符号．(4)当b2－4ac＝0时，应把方程的根写成x1＝x2＝－，从而说明一元二次方程有两个相等的实数根，而不是一个根．【例2】用公式法解下列方程：(1)2x(x＋)＋1＝0；(2)x2＋4x－1＝10＋8x.分析：用公式法解一元二次方程时，先将一元二次方程写成a

5、x2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式，然后判断b2－4ac的值是大于等于0，还是小于0.若b2－4ac≥0，把a，b，c的值代入求根公式求解；若b2－4ac＜0，则原方程没有实数根．解：(1)原方程可化为2x2＋2x＋1＝0.因为a＝2，b＝2，c＝1，所以b2－4ac＝(2)2－4×2×1＝0.所以x＝＝－.所以x1＝x2＝－.(2)将原方程化为一般形式，得x2－4x－11＝0.因为a＝1，b＝－4，c＝－11，所以b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－11)＝16＋44＝60.所以x＝＝.所以x1＝2＋，x2＝2－.点拨：用公式法解一元二

6、次方程时，必须满足b2－4ac≥0，才能将a，b及b2－4ac的值代入求根公式求解．当b2－4ac＜0时，原方程没有实数根．3．因式分解法(1)定义：通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法．(2)因式分解法的理论依据：若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(3)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．用因式分解法解一元二次方程的关键：一是要将方程右边化为0

7、；二是方程左边要能分解为两个含未知数的一次因式的积．【例3】解下列方程：(1)x－3＝x(x－3)；(2)(x－2)2＝(2x＋3)2；(3)x2－2x＝－3.分析：⑴移项右边为0左边能提取公因式(x－3)⑵移项左边能用平方差公式进行分解⑶移项左边正好是一个完全平方式解：(1)原方程可化为(x－3)－x(x－3)＝0.∴(x－3)(1－x)＝0.∴x－3＝0，或1－x＝0.∴x1＝3，x2＝1.(2)原方程可化为(x－2)2－(2x＋3)2＝0.∴[(x－2)＋(2x＋3)][(x－2)－(2x＋3)]＝0，即(3x＋1)(－x－5)＝0.

8、∴3x＋1＝0，或－x－5＝0.∴x1＝－，x2＝－5.(3)原方程可化为x2－2x＋3＝0，即x2－2x＋()2＝0.∴(x－)2＝0.∴x1＝x2＝.4．因式分解法的两种类型