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《2018版高考数学一轮总复习 不等式选讲 2 证明不等式的基本方法模拟演练 文》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2018版高考数学一轮总复习不等式选讲2证明不等式的基本方法模拟演练文1.[2017·南昌模拟]函数f(x)=.(1)若a=5,求函数f(x)的定义域A;(2)设a,b∈(-1,1),证明:<.解 (1)由
2、x+1
3、+
4、x+2
5、-5≥0,得2x+8≤0,x≤-2或-4≥0,-26、x≤-4或x≥1}.(2)证明:∵<⇔27、a+b8、<9、4+ab10、.而4(a+b)2-(4+ab)2=4(a2+2ab+b2)-(16+8ab+a2b2)=4a2+4b2-a2b2-16=a2(4-11、b2)+4(b2-4)=(b2-4)(4-a2),∵a,b∈(-1,1),∴(b2-4)(4-a2)<0,∴4(a+b)2<(4+ab)2,∴<.2.已知定义在R上的函数f(x)=12、x-m13、+14、x15、,m∈N*,存在实数x使f(x)<2成立.(1)求实数m的值;(2)若α,β>1,f(α)+f(β)=2,求证:+≥.解 (1)因为16、x-m17、+18、x19、≥20、(x-m)-x21、=22、m23、.要使不等式24、x-m25、+26、x27、<2有解,则28、m29、<2,解得-21,所以f(α)+f(30、β)=2α-1+2β-1=2,即α+β=2.所以+=(α+β)=5++≥=.(当且仅当=,即α=,β=时,等号成立)又因为α,β>1,所以+>恒成立.故+≥.3.[2017·大连模拟]已知a>0,b>0,记A=+,B=a+b.(1)求A-B的最大值;(2)若ab=4,是否存在a,b,使得A+B=6?并说明理由.解 (1)A-B=-a+-b=-2-2+1≤1,等号在a=b=时取得,即A-B的最大值为1.(2)A+B=a+b++≥2+2,因为ab=4,所以A+B≥4+2>6,所以不存在这样的a,b,使得A+B=6.4.31、[2017·安徽江南十校联考]已知函数f(x)=32、x33、-34、2x-135、,记f(x)>-1的解集为M.(1)求M;(2)已知a∈M,比较a2-a+1与的大小.解 (1)f(x)=36、x37、-38、2x-139、=由f(x)>-1,得或或解得040、00,所以a2-a+1>.综上所述,当041、,a2-a+1>.5.已知函数f(x)=ax2+x-a的定义域为[-1,1].(1)若f(0)=f(1),解不等式42、f(x)-143、44、a45、≤1,求证:46、f(x)47、≤.解 (1)f(0)=f(1),即-a=a+1-a,则a=-1,∴f(x)=-x2+x+1,∴不等式化为48、-x2+x49、<-x+,①当-1≤x<0时,不等式化为x2-x<-x+,∴-50、x51、≤1,又52、a53、≤1,则54、55、f(x)56、=57、a(x2-1)+x58、≤59、a(x2-1)60、+61、x62、≤63、x2-164、+65、x66、=1-67、x68、2+69、x70、=-2+≤.6.[2017·衡阳二联]已知函数f(x)=71、x-372、.(1)若不等式f(x-1)+f(x)73、a74、<1,75、b76、<3,且a≠0,判断与f的大小,并说明理由.解 (1)因为f(x-1)+f(x)=77、x-478、+79、x-380、≥81、x-4+3-x82、=1,不等式f(x-1)+f(x)f.证明:83、要证>f,只需证84、ab-385、>86、b-3a87、,即证(ab-3)2>(b-3a)2,又(ab-3)2-(b-3a)2=a2b2-9a2-b2+9=(a2-1)·(b2-9).因为88、a89、<1,90、b91、<3,所以(ab-3)2>(b-3a)2成立,所以原不等式成立.
6、x≤-4或x≥1}.(2)证明:∵<⇔2
7、a+b
8、<
9、4+ab
10、.而4(a+b)2-(4+ab)2=4(a2+2ab+b2)-(16+8ab+a2b2)=4a2+4b2-a2b2-16=a2(4-
11、b2)+4(b2-4)=(b2-4)(4-a2),∵a,b∈(-1,1),∴(b2-4)(4-a2)<0,∴4(a+b)2<(4+ab)2,∴<.2.已知定义在R上的函数f(x)=
12、x-m
13、+
14、x
15、,m∈N*,存在实数x使f(x)<2成立.(1)求实数m的值;(2)若α,β>1,f(α)+f(β)=2,求证:+≥.解 (1)因为
16、x-m
17、+
18、x
19、≥
20、(x-m)-x
21、=
22、m
23、.要使不等式
24、x-m
25、+
26、x
27、<2有解,则
28、m
29、<2,解得-21,所以f(α)+f(
30、β)=2α-1+2β-1=2,即α+β=2.所以+=(α+β)=5++≥=.(当且仅当=,即α=,β=时,等号成立)又因为α,β>1,所以+>恒成立.故+≥.3.[2017·大连模拟]已知a>0,b>0,记A=+,B=a+b.(1)求A-B的最大值;(2)若ab=4,是否存在a,b,使得A+B=6?并说明理由.解 (1)A-B=-a+-b=-2-2+1≤1,等号在a=b=时取得,即A-B的最大值为1.(2)A+B=a+b++≥2+2,因为ab=4,所以A+B≥4+2>6,所以不存在这样的a,b,使得A+B=6.4.
31、[2017·安徽江南十校联考]已知函数f(x)=
32、x
33、-
34、2x-1
35、,记f(x)>-1的解集为M.(1)求M;(2)已知a∈M,比较a2-a+1与的大小.解 (1)f(x)=
36、x
37、-
38、2x-1
39、=由f(x)>-1,得或或解得040、00,所以a2-a+1>.综上所述,当041、,a2-a+1>.5.已知函数f(x)=ax2+x-a的定义域为[-1,1].(1)若f(0)=f(1),解不等式42、f(x)-143、44、a45、≤1,求证:46、f(x)47、≤.解 (1)f(0)=f(1),即-a=a+1-a,则a=-1,∴f(x)=-x2+x+1,∴不等式化为48、-x2+x49、<-x+,①当-1≤x<0时,不等式化为x2-x<-x+,∴-50、x51、≤1,又52、a53、≤1,则54、55、f(x)56、=57、a(x2-1)+x58、≤59、a(x2-1)60、+61、x62、≤63、x2-164、+65、x66、=1-67、x68、2+69、x70、=-2+≤.6.[2017·衡阳二联]已知函数f(x)=71、x-372、.(1)若不等式f(x-1)+f(x)73、a74、<1,75、b76、<3,且a≠0,判断与f的大小,并说明理由.解 (1)因为f(x-1)+f(x)=77、x-478、+79、x-380、≥81、x-4+3-x82、=1,不等式f(x-1)+f(x)f.证明:83、要证>f,只需证84、ab-385、>86、b-3a87、,即证(ab-3)2>(b-3a)2,又(ab-3)2-(b-3a)2=a2b2-9a2-b2+9=(a2-1)·(b2-9).因为88、a89、<1,90、b91、<3,所以(ab-3)2>(b-3a)2成立,所以原不等式成立.
40、00,所以a2-a+1>.综上所述,当041、,a2-a+1>.5.已知函数f(x)=ax2+x-a的定义域为[-1,1].(1)若f(0)=f(1),解不等式42、f(x)-143、44、a45、≤1,求证:46、f(x)47、≤.解 (1)f(0)=f(1),即-a=a+1-a,则a=-1,∴f(x)=-x2+x+1,∴不等式化为48、-x2+x49、<-x+,①当-1≤x<0时,不等式化为x2-x<-x+,∴-50、x51、≤1,又52、a53、≤1,则54、55、f(x)56、=57、a(x2-1)+x58、≤59、a(x2-1)60、+61、x62、≤63、x2-164、+65、x66、=1-67、x68、2+69、x70、=-2+≤.6.[2017·衡阳二联]已知函数f(x)=71、x-372、.(1)若不等式f(x-1)+f(x)73、a74、<1,75、b76、<3,且a≠0,判断与f的大小,并说明理由.解 (1)因为f(x-1)+f(x)=77、x-478、+79、x-380、≥81、x-4+3-x82、=1,不等式f(x-1)+f(x)f.证明:83、要证>f,只需证84、ab-385、>86、b-3a87、,即证(ab-3)2>(b-3a)2,又(ab-3)2-(b-3a)2=a2b2-9a2-b2+9=(a2-1)·(b2-9).因为88、a89、<1,90、b91、<3,所以(ab-3)2>(b-3a)2成立,所以原不等式成立.
41、,a2-a+1>.5.已知函数f(x)=ax2+x-a的定义域为[-1,1].(1)若f(0)=f(1),解不等式
42、f(x)-1
43、44、a45、≤1,求证:46、f(x)47、≤.解 (1)f(0)=f(1),即-a=a+1-a,则a=-1,∴f(x)=-x2+x+1,∴不等式化为48、-x2+x49、<-x+,①当-1≤x<0时,不等式化为x2-x<-x+,∴-50、x51、≤1,又52、a53、≤1,则54、55、f(x)56、=57、a(x2-1)+x58、≤59、a(x2-1)60、+61、x62、≤63、x2-164、+65、x66、=1-67、x68、2+69、x70、=-2+≤.6.[2017·衡阳二联]已知函数f(x)=71、x-372、.(1)若不等式f(x-1)+f(x)73、a74、<1,75、b76、<3,且a≠0,判断与f的大小,并说明理由.解 (1)因为f(x-1)+f(x)=77、x-478、+79、x-380、≥81、x-4+3-x82、=1,不等式f(x-1)+f(x)f.证明:83、要证>f,只需证84、ab-385、>86、b-3a87、,即证(ab-3)2>(b-3a)2,又(ab-3)2-(b-3a)2=a2b2-9a2-b2+9=(a2-1)·(b2-9).因为88、a89、<1,90、b91、<3,所以(ab-3)2>(b-3a)2成立,所以原不等式成立.
44、a
45、≤1,求证:
46、f(x)
47、≤.解 (1)f(0)=f(1),即-a=a+1-a,则a=-1,∴f(x)=-x2+x+1,∴不等式化为
48、-x2+x
49、<-x+,①当-1≤x<0时,不等式化为x2-x<-x+,∴-50、x51、≤1,又52、a53、≤1,则54、55、f(x)56、=57、a(x2-1)+x58、≤59、a(x2-1)60、+61、x62、≤63、x2-164、+65、x66、=1-67、x68、2+69、x70、=-2+≤.6.[2017·衡阳二联]已知函数f(x)=71、x-372、.(1)若不等式f(x-1)+f(x)73、a74、<1,75、b76、<3,且a≠0,判断与f的大小,并说明理由.解 (1)因为f(x-1)+f(x)=77、x-478、+79、x-380、≥81、x-4+3-x82、=1,不等式f(x-1)+f(x)f.证明:83、要证>f,只需证84、ab-385、>86、b-3a87、,即证(ab-3)2>(b-3a)2,又(ab-3)2-(b-3a)2=a2b2-9a2-b2+9=(a2-1)·(b2-9).因为88、a89、<1,90、b91、<3,所以(ab-3)2>(b-3a)2成立,所以原不等式成立.
50、x
51、≤1,又
52、a
53、≤1,则
54、
55、f(x)
56、=
57、a(x2-1)+x
58、≤
59、a(x2-1)
60、+
61、x
62、≤
63、x2-1
64、+
65、x
66、=1-
67、x
68、2+
69、x
70、=-2+≤.6.[2017·衡阳二联]已知函数f(x)=
71、x-3
72、.(1)若不等式f(x-1)+f(x)73、a74、<1,75、b76、<3,且a≠0,判断与f的大小,并说明理由.解 (1)因为f(x-1)+f(x)=77、x-478、+79、x-380、≥81、x-4+3-x82、=1,不等式f(x-1)+f(x)f.证明:83、要证>f,只需证84、ab-385、>86、b-3a87、,即证(ab-3)2>(b-3a)2,又(ab-3)2-(b-3a)2=a2b2-9a2-b2+9=(a2-1)·(b2-9).因为88、a89、<1,90、b91、<3,所以(ab-3)2>(b-3a)2成立,所以原不等式成立.
73、a
74、<1,
75、b
76、<3,且a≠0,判断与f的大小,并说明理由.解 (1)因为f(x-1)+f(x)=
77、x-4
78、+
79、x-3
80、≥
81、x-4+3-x
82、=1,不等式f(x-1)+f(x)f.证明:
83、要证>f,只需证
84、ab-3
85、>
86、b-3a
87、,即证(ab-3)2>(b-3a)2,又(ab-3)2-(b-3a)2=a2b2-9a2-b2+9=(a2-1)·(b2-9).因为
88、a
89、<1,
90、b
91、<3,所以(ab-3)2>(b-3a)2成立,所以原不等式成立.
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