高三数学 8.5直线与椭圆复习导学案

高三数学 8.5直线与椭圆复习导学案

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1、山东省高密市第三中学高三数学8.5直线与椭圆复习导学案一、教材基础梳理:1.直线∶Ax+B+C=0与椭圆C∶f(x,y)=0的位置关系可分为:相交、相切、相离.2.三种位置关系的判定条件可归纳为:设直线:Ax+By+C=0,椭圆C:f(x,y)=0,由消去y(或消去x)得:ax2+bx+c=0,△=b2-4ac,△>0相交△<0相离△=0相切3.直线与椭圆相交的弦长公式若直线与椭圆交于两点,则弦长=。典例解析:1.已知椭圆G:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为(2,0).斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2

2、).(1)求椭圆G的方程;(2)求△PAB的面积.2.已知椭圆C:上动点到定点,其中的距离的最小值为1.(1)请确定M点的坐标;(2)试问是否存在经过M点的直线,使与椭圆C的两个交点A、B满足条件(O为原点),若存在,求出的方程,若不存在请说是理由.3.如图所示,已知圆定点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足,点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间),且满足的取值范围.4.设上的两点,已知,,若且椭圆的离心率短轴长为2,为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆的方程;

3、(Ⅱ)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为半焦距),求直线AB的斜率k的值;(Ⅲ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.5.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程.(2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.6.在直角坐标平面内,已知点,是平面内一动点,直线、

4、斜率之积为.(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;(Ⅱ)过点作直线与轨迹交于两点,线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.直线与椭圆的位置关系参考答案1.解 (1)由已知得c=2,=,解得a=2.又b2=a2-c2=4,所以椭圆G的方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,由消去y得4x2+6mx+3m2-12=0.①设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1

5、3,x2=0,所以y1=-1,y2=2.所以

6、AB

7、=3,又点P(-3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离d==.所以△PAB的面积S=

8、AB

9、·d=.2.解:设,由得故由于且故当时,的最小值为此时,当时,取得最小值为解得不合题意舍去。综上所知当是满足题意此时M的坐标为(1,0)。(2)由题意知条件等价于,当的斜率不存在时,与C的交点为,此时,设的方程为,代入椭圆方程整理得,由于点M在椭圆内部故恒成立,由知即,据韦达定理得,代入上式得得不合题意。综上知这样的直线不存在。3.解:(1)∴NP为AM的垂直平分线,∴

10、NA

11、=

12、NM

13、又∴动点N的轨迹是以点C(-1

14、,0),A(1,0)为焦点的椭圆且椭圆长轴长为∴曲线E的方程为(2)当直线GH斜率存在时,设直线GH方程为得由设又整理得又又当直线GH斜率不存在,方程为即所求的取值范围是4.解:(Ⅰ)椭圆的方程为(Ⅱ)由题意,设AB的方程为由已知得:(Ⅲ)(1)当直线AB斜率不存在时,即,由得又在椭圆上,所以,所以三角形的面积为定值(2).当直线AB斜率存在时:设AB的方程为y=kx+b所以三角形的面积为定值.5.解 (1)∵e2===,∴a2=3b2,∴椭圆方程为+=1,即x2+3y2=3b2.设椭圆上的点到点Q(0,2)的距离为d,则d====,∴当y=-1时,d取得最大

15、值,dmax==3,解得b2=1,∴a2=3.∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)假设存在点M(m,n)满足题意,则+n2=1,即m2=3-3n2.设圆心到直线l的距离为d′,则d′<1,d′==.∴

16、AB

17、=2=2.∴S△OAB=

18、AB

19、d′=·2·=.∵d′<1,∴m2+n2>1,∴0<<1,∴1->0.∴S△OAB=≤=,当且仅当=1-,即m2+n2=2>1时,S△OAB取得最大值.由得∴存在点M满足题意,M点坐标为,,或,此时△OAB的面积为.6.解:(Ⅰ)设点的坐标为,依题意,有.化简并整理,得.∴动点的轨迹的方程是.(Ⅱ)解:依题意,直线过点且斜率不

20、为零.(1)当直线与轴垂直时,点的坐标

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